题目
4、某校共有4900个学生,已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1,问阅览室要准备多少个座位,才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位
4、某校共有4900个学生,已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1,问阅览室
要准备多少个座位,才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义随机变量
设去阅览室学习的人数为随机变量 $\xi$，要准备 $k$ 个座位。由于每个学生去阅览室学习的概率为0.1，且学生人数为4900，因此 $\xi$ 服从二项分布 $b(n,p)$，其中 $n=4900$，$p=0.1$。
步骤 2：计算期望和标准差
根据二项分布的性质，期望 $E(\xi) = np = 4900 \times 0.1 = 490$，标准差 $\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{4900 \times 0.1 \times 0.9} = \sqrt{441} = 21$。
步骤 3：应用正态分布近似
由于 $n$ 较大，$p$ 不太接近0或1，可以使用正态分布近似二项分布。即 $\xi \sim N(490, 21^2)$。要以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位，即求 $P(\xi \leq k) \geq 0.99$。
步骤 4：计算 $k$ 的值
根据正态分布的性质，$P(\xi \leq k) = P\left(\frac{\xi - 490}{21} \leq \frac{k - 490}{21}\right) = \Phi\left(\frac{k - 490}{21}\right)$，其中 $\Phi$ 是标准正态分布的累积分布函数。查标准正态分布表，$\Phi(2.3263) \approx 0.99$，因此 $\frac{k - 490}{21} = 2.3263$，解得 $k = 21 \times 2.3263 + 490 = 538.8523 \approx 539$。
设去阅览室学习的人数为随机变量 $\xi$，要准备 $k$ 个座位。由于每个学生去阅览室学习的概率为0.1，且学生人数为4900，因此 $\xi$ 服从二项分布 $b(n,p)$，其中 $n=4900$，$p=0.1$。
步骤 2：计算期望和标准差
根据二项分布的性质，期望 $E(\xi) = np = 4900 \times 0.1 = 490$，标准差 $\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{4900 \times 0.1 \times 0.9} = \sqrt{441} = 21$。
步骤 3：应用正态分布近似
由于 $n$ 较大，$p$ 不太接近0或1，可以使用正态分布近似二项分布。即 $\xi \sim N(490, 21^2)$。要以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位，即求 $P(\xi \leq k) \geq 0.99$。
步骤 4：计算 $k$ 的值
根据正态分布的性质，$P(\xi \leq k) = P\left(\frac{\xi - 490}{21} \leq \frac{k - 490}{21}\right) = \Phi\left(\frac{k - 490}{21}\right)$，其中 $\Phi$ 是标准正态分布的累积分布函数。查标准正态分布表，$\Phi(2.3263) \approx 0.99$，因此 $\frac{k - 490}{21} = 2.3263$，解得 $k = 21 \times 2.3263 + 490 = 538.8523 \approx 539$。