题目
为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表： 喜欢跑步 不喜欢跑步 合计 男生 80 女生 20 合计 已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6．（1）判断：是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？（2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布及数学期望．附：(χ^2)=(n({（ad-bc）)^2})/(（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）)，其中n=a+b+c+d． α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表：
已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6．
（1）判断：是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？
（2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布及数学期望．
附：${χ^2}=\frac{n{{（ad-bc）}^2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
| 喜欢跑步 | 不喜欢跑步 | 合计 | |
| 男生 | 80 | ||
| 女生 | 20 | ||
| 合计 |
（1）判断：是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？
（2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布及数学期望．
附：${χ^2}=\frac{n{{（ad-bc）}^2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
| α | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| xα | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
题目解答
答案
解：（1）易知从200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6，
所以喜欢跑步的人有200×0.6=120（人），不喜欢跑步的人有200-120=80（人），
列联表如下所示：
则${χ^2}=\frac{200×{{（80×20-40×60）}^2}}{120×80×140×60}≈1.587＜2.706$，
所有没有90%把握认为喜欢跑步与性别有关；
（2）若按分层抽样，
设女生x名，男生y名，
此时$\frac{8}{80}=\frac{x}{20}=\frac{y}{60}$，
解得x=2，y=6，
所以从不喜欢跑步的学生中抽取女生2名，男生6名，
易知X的所有可能取值为0，1，2，
所以$P（X=0）=\frac{C_6^3}{C_8^3}=\frac{5}{14}$，$P（X=1）=\frac{C_2^1C_6^2}{C_8^3}=\frac{15}{28}$，$P（X=2）=\frac{C_2^2C_6^1}{C_8^3}=\frac{3}{28}$，
则X的分布列为：
故$E（X）=0×\frac{5}{14}+1×\frac{15}{28}+2×\frac{3}{28}=\frac{3}{4}$．
所以喜欢跑步的人有200×0.6=120（人），不喜欢跑步的人有200-120=80（人），
列联表如下所示：
| 喜欢跑步 | 不喜欢跑步 | 合计 | |
| 男生 | 80 | 60 | 140 |
| 女生 | 40 | 20 | 60 |
| 合计 | 120 | 80 | 200 |
所有没有90%把握认为喜欢跑步与性别有关；
（2）若按分层抽样，
设女生x名，男生y名，
此时$\frac{8}{80}=\frac{x}{20}=\frac{y}{60}$，
解得x=2，y=6，
所以从不喜欢跑步的学生中抽取女生2名，男生6名，
易知X的所有可能取值为0，1，2，
所以$P（X=0）=\frac{C_6^3}{C_8^3}=\frac{5}{14}$，$P（X=1）=\frac{C_2^1C_6^2}{C_8^3}=\frac{15}{28}$，$P（X=2）=\frac{C_2^2C_6^1}{C_8^3}=\frac{3}{28}$，
则X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{5}{14}$ | $\frac{15}{28}$ | $\frac{3}{28}$ |