题目

设向量 [alpha_(1) alpha_(2) alpha_(3) alpha_(4)]=}1&0&1&10&1&1&00&3&3&00&0&0&1

设向量 $[\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3} \alpha_{4}]=\begin{bmatrix}1&0&1&1\\0&1&1&0\\0&3&3&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$ 那么以下错误的是()

A. 向量组 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ 的一个极大线性无关组为 $a_{1},a_{3},a_{4}$

B. 向量组 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ 的一个极大线性无关组为 $a_{1},a_{2},a_{4}$

C. 向量组 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ 的秩为3

D. 向量组 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ 的一个极大线性无关组为 $a_{1},a_{2},a_{3}$

题目解答

答案

D. 向量组 $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ 的一个极大线性无关组为 $a_{1},a_{2},a_{3}$

解析

本题考查向量组的极大线性无关组和秩的相关知识。解题思路是先对矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，根据行阶梯形矩阵确定向量组的秩，再根据秩判断极大线性无关组。

已知矩阵$A = [\\alpha_{1} \alpha_{2} \alpha_{3}} \alpha_{4}]=\begin{bmatrix}1&1&0&1&1\\&0&1&1&0\\&0&3&3&0\\&0&0&0&1\end{bmatrix}$。

  • 步骤一：对矩阵\(A\\)进行初等行变换化为行阶梯形矩阵
    对矩阵$A$的第三行减去第二行的$3$倍，可得：
    $A\sim\begin{bmatrix} {bmatrix}1&0&1&1\\0&1&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$
    再交换第三行和第四行，得到行阶梯形矩阵：
    $A\sim\begin{bmatrix}1&1&0&1&1\\&0&1&1&0\\&0&0&0&1\\&0&0&3&0\end{bmatrix}$
  • **步骤二：确定向量组的秩
    行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩，也就是向量组的秩。由上述行阶梯形矩阵可知，非零行有$3$行，所以向量组$\alpha_{1},_{2},_{3},_{4}$的秩$r(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}) = 3$，故选项C正确。
  • **步骤三：判断极大线性无关组
    极大线性无关组所含向量的个数等于向量组的秩，且行阶梯形矩阵中主元所在列对应的原向量组中的向量构成一个极大线性无关组。
    • 对于选项A，行阶梯形矩阵中第一、三、四列的主元所在列对应的原向量组中的向量为$\alpha_{1}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$，所以$\alpha_{1}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$是向量组$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$的一个极大线性无关组，选项A正确。
    • 对于选项B，由于向量组的秩为$3$，且$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{4}$线性无关（可通过线性组合等于零向量，根据向量组的线性相关性定义判断），所以$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{4}$也是向量组$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$的极大线性无关组，选项B正确。
    • 对于选项D，因为$\alpha_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}$（由矩阵$A$的列向量关系可得），即$\alpha_{1}+\alpha_{2}-\alpha_{3}=0$，说明$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$线性相关，所以$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$不是向量组$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$的极大线性无关组，选项D错误。