题目
设 X_1, X_2, X_3 是来自正态总体 N(0, sigma^2) 的样本,已知统计量 c(2X_1^2 - X_2^2 + X_3^2) 是方差 sigma^2 的无偏估计量则常数 c 等于 ()A. (1)/(4)B. (1)/(2)C. 2D. 4
设 $X_1, X_2, X_3$ 是来自正态总体 $N(0, \sigma^2)$ 的样本,已知统计量 $c(2X_1^2 - X_2^2 + X_3^2)$ 是方差 $\sigma^2$ 的无偏估计量则常数 $c$ 等于 ()
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 2
D. 4
题目解答
答案
B. $\frac{1}{2}$
解析
步骤 1：计算 $X_i^2$ 的期望值
由于 $X_1, X_2, X_3$ 是来自正态总体 $N(0, \sigma^2)$ 的样本，根据正态分布的性质，$E[X_i^2] = \sigma^2$。
步骤 2：计算统计量的期望值
统计量 $c(2X_1^2 - X_2^2 + X_3^2)$ 的期望值为：
\[ E[c(2X_1^2 - X_2^2 + X_3^2)] = cE[2X_1^2 - X_2^2 + X_3^2] = c(2\sigma^2 - \sigma^2 + \sigma^2) = 2c\sigma^2 \]
步骤 3：确定无偏估计量的条件
由于统计量 $c(2X_1^2 - X_2^2 + X_3^2)$ 是方差 $\sigma^2$ 的无偏估计量，其期望值应等于 $\sigma^2$，即：
\[ 2c\sigma^2 = \sigma^2 \]
解得：
\[ c = \frac{1}{2} \]
由于 $X_1, X_2, X_3$ 是来自正态总体 $N(0, \sigma^2)$ 的样本，根据正态分布的性质，$E[X_i^2] = \sigma^2$。
步骤 2：计算统计量的期望值
统计量 $c(2X_1^2 - X_2^2 + X_3^2)$ 的期望值为：
\[ E[c(2X_1^2 - X_2^2 + X_3^2)] = cE[2X_1^2 - X_2^2 + X_3^2] = c(2\sigma^2 - \sigma^2 + \sigma^2) = 2c\sigma^2 \]
步骤 3：确定无偏估计量的条件
由于统计量 $c(2X_1^2 - X_2^2 + X_3^2)$ 是方差 $\sigma^2$ 的无偏估计量，其期望值应等于 $\sigma^2$，即：
\[ 2c\sigma^2 = \sigma^2 \]
解得：
\[ c = \frac{1}{2} \]