题目
设 X sim N(mu ,16), Y sim N(mu ,25)，记 p_1 = P(X < mu -4), p_2 = P(Y ge mu +5)，则()。 A. 对任意的 mu都有 p_1 = p_2 B. 对任意的 mu都有 p_1 < p_2 C. 只有对个别的 mu值才有 p_1 = p_2 D. 对任意的 mu都有 p_1 > p_2
$$ 设 $X \sim N(\mu ,16)$, $Y \sim N(\mu ,25)$，记 $p\_1\ \ = P{X < \mu -4}$, $p\_2\ \ = P{Y \ge \mu +5}$，则()。 $$
- A. $$ 对任意的 $\mu$都有 $p\_1\ \ = p\_2$ $$
- B. $$ 对任意的 $\mu$都有 $p\_1\ \ < p\_2$ $$
- C. $$ 只有对个别的 $\mu$值才有 $p\_1\ \ = p\_2$ $$
- D. $$ 对任意的 $\mu$都有 $p\_1\ \ > p\_2$ $$
题目解答
答案
A
解析
步骤 1：标准化正态分布
对于 $X \sim N(\mu, 16)$，我们有 $X = \mu + 4Z$，其中 $Z \sim N(0, 1)$。因此，$p_1 = P(X < \mu - 4) = P(\mu + 4Z < \mu - 4) = P(Z < -1)$。
对于 $Y \sim N(\mu, 25)$，我们有 $Y = \mu + 5Z$，其中 $Z \sim N(0, 1)$。因此，$p_2 = P(Y \ge \mu + 5) = P(\mu + 5Z \ge \mu + 5) = P(Z \ge 1)$。
步骤 2：利用标准正态分布表
$P(Z < -1)$ 和 $P(Z \ge 1)$ 都可以通过标准正态分布表来查找。由于标准正态分布是关于 $0$ 对称的，我们有 $P(Z < -1) = P(Z \ge 1)$。
步骤 3：比较 $p_1$ 和 $p_2$
由于 $P(Z < -1) = P(Z \ge 1)$，因此 $p_1 = p_2$ 对任意的 $\mu$ 都成立。
对于 $X \sim N(\mu, 16)$，我们有 $X = \mu + 4Z$，其中 $Z \sim N(0, 1)$。因此，$p_1 = P(X < \mu - 4) = P(\mu + 4Z < \mu - 4) = P(Z < -1)$。
对于 $Y \sim N(\mu, 25)$，我们有 $Y = \mu + 5Z$，其中 $Z \sim N(0, 1)$。因此，$p_2 = P(Y \ge \mu + 5) = P(\mu + 5Z \ge \mu + 5) = P(Z \ge 1)$。
步骤 2：利用标准正态分布表
$P(Z < -1)$ 和 $P(Z \ge 1)$ 都可以通过标准正态分布表来查找。由于标准正态分布是关于 $0$ 对称的，我们有 $P(Z < -1) = P(Z \ge 1)$。
步骤 3：比较 $p_1$ 和 $p_2$
由于 $P(Z < -1) = P(Z \ge 1)$，因此 $p_1 = p_2$ 对任意的 $\mu$ 都成立。