题目
8.某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数λ=2的泊松分布。若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的，求一年中售出700辆以上汽车的概率。
8.某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数λ=2的泊松分布。若一年365天都经营汽车销售，且每天出售的汽车数是相互独立的，求一年中售出700辆以上汽车的概率。
题目解答
答案
解：记
为第i天出售的汽车辆数，则
为一年的总销量。由
，E(Y)=D(Y)=365X2=730。利用林德伯格-莱维中心极限定理，可得
一年中售出700辆以上汽车的概率为0.8665。
解析
步骤 1：定义随机变量
设$X_i$表示第$i$天出售的汽车数，$i=1,2,\cdots,365$。由于每天出售的汽车数服从参数$\lambda=2$的泊松分布，因此$X_i$服从泊松分布$P(\lambda=2)$。
步骤 2：计算一年总销量的期望和方差
一年的总销量$Y=X_1+X_2+\cdots+X_{365}$。由于泊松分布的期望和方差相等，即$E(X_i)=D(X_i)=2$，因此$E(Y)=365\times2=730$，$D(Y)=365\times2=730$。
步骤 3：应用中心极限定理
由于一年中每天的汽车销售量是相互独立的，且数量较大，可以应用林德伯格-莱维中心极限定理，将$Y$近似为正态分布$N(730,730)$。因此，$P(Y>700)$可以近似为$1-P(Y\leqslant700)$。
步骤 4：计算概率
$P(Y>700)=1-P(Y\leqslant700)\approx1-\Phi\left(\frac{700-730}{\sqrt{730}}\right)=1-\Phi(-1.11)=1-0.1335=0.8665$。
其中，$\Phi$表示标准正态分布的累积分布函数。
设$X_i$表示第$i$天出售的汽车数，$i=1,2,\cdots,365$。由于每天出售的汽车数服从参数$\lambda=2$的泊松分布，因此$X_i$服从泊松分布$P(\lambda=2)$。
步骤 2：计算一年总销量的期望和方差
一年的总销量$Y=X_1+X_2+\cdots+X_{365}$。由于泊松分布的期望和方差相等，即$E(X_i)=D(X_i)=2$，因此$E(Y)=365\times2=730$，$D(Y)=365\times2=730$。
步骤 3：应用中心极限定理
由于一年中每天的汽车销售量是相互独立的，且数量较大，可以应用林德伯格-莱维中心极限定理，将$Y$近似为正态分布$N(730,730)$。因此，$P(Y>700)$可以近似为$1-P(Y\leqslant700)$。
步骤 4：计算概率
$P(Y>700)=1-P(Y\leqslant700)\approx1-\Phi\left(\frac{700-730}{\sqrt{730}}\right)=1-\Phi(-1.11)=1-0.1335=0.8665$。
其中，$\Phi$表示标准正态分布的累积分布函数。