隐函数z=z(x,y)，(partial z)/(partial x) ( 1,1 )<|im_end|>20.设f(u,v)存在二阶连续偏导数，z=z(x,y)是由方程f(z-x,z-y)=1确定的隐函数，求(partial^2z)/(partial xpartial y).

考查要点：本题主要考查隐函数的二阶混合偏导数的求解，涉及链式法则、隐函数定理的应用以及二阶偏导数的计算。

解题核心思路：

1. 构造辅助函数：将方程$f(z-x, z-y)=1$改写为$F(x, y, z) = f(z-x, z-y) - 1 = 0$，利用隐函数定理求导。
2. 一阶偏导数：通过隐函数求导公式，求出$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$。
3. 二阶混合偏导数：对一阶偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$关于$y$求导，需结合链式法则和商法则，代入一阶偏导数的表达式，最终化简得到结果。

破题关键点：

• 正确应用隐函数求导公式，注意分母为$\frac{\partial F}{\partial z}$。
• 二阶导数计算时，需处理复合函数的链式法则，并注意$f$的二阶偏导数的对称性（如$f_{uv}=f_{vu}$）。

设$F(x, y, z) = f(z-x, z-y) - 1$，其中$u = z - x$，$v = z - y$。根据隐函数定理：

1. 一阶偏导数：

   • $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = \frac{f_u}{f_u + f_v}$
   • $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} = \frac{f_v}{f_u + f_v}$

2. 对$\frac{\partial z}{\partial x}$关于$y$求导：

   • 设$z_x = \frac{f_u}{f_u + f_v}$，则：
     $z_{xy} = \frac{(f_u)_y (f_u + f_v) - f_u (f_u + f_v)_y}{(f_u + f_v)^2}$
   • 计算$(f_u)_y$和$(f_u + f_v)_y$：
     • $(f_u)_y = f_{uu} z_y + f_{uv} (z_y - 1) = \frac{f_{uu} f_v - f_{uv} f_u}{f_u + f_v}$
     • $(f_u + f_v)_y = \frac{f_{uu} f_v + f_{uv} f_v - f_{uv} f_u - f_{vv} f_u}{f_u + f_v}$

3. 代入化简：

   • 分子展开后合并同类项，最终得到：
     $z_{xy} = \frac{f_{uu} f_v^2 - 2 f_{uv} f_u f_v + f_{vv} f_u^2}{(f_u + f_v)^3}$