题目
设两随机变量的方差D（X）=4，D（Y）=1，且相关系数ρXY=0，则D（3X-2Y）= ____ ．
设两随机变量的方差D（X）=4，D（Y）=1，且相关系数ρXY=0，则D（3X-2Y）= ____ ．
题目解答
答案
解：由相关系数ρXY=0，则X与Y相互独立，
∴D（3X-2Y）=32D（X）+（-2）2D（Y）
=9×4+4×1=40．
故答案为：40．
∴D（3X-2Y）=32D（X）+（-2）2D（Y）
=9×4+4×1=40．
故答案为：40．
解析
步骤 1：确定X与Y的独立性
由于相关系数ρ_XY=0，说明X与Y不相关。在随机变量中，不相关意味着独立，因此X与Y相互独立。
步骤 2：应用方差的性质
对于两个独立的随机变量X和Y，以及常数a和b，有D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)。这里a=3，b=-2。
步骤 3：计算D（3X-2Y）
根据步骤2中的性质，D（3X-2Y）=3^2D（X）+（-2）^2D（Y）=9D（X）+4D（Y）。
步骤 4：代入已知的方差值
将D（X）=4和D（Y）=1代入步骤3中的表达式，得到D（3X-2Y）=9×4+4×1=36+4=40。
由于相关系数ρ_XY=0，说明X与Y不相关。在随机变量中，不相关意味着独立，因此X与Y相互独立。
步骤 2：应用方差的性质
对于两个独立的随机变量X和Y，以及常数a和b，有D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)。这里a=3，b=-2。
步骤 3：计算D（3X-2Y）
根据步骤2中的性质，D（3X-2Y）=3^2D（X）+（-2）^2D（Y）=9D（X）+4D（Y）。
步骤 4：代入已知的方差值
将D（X）=4和D（Y）=1代入步骤3中的表达式，得到D（3X-2Y）=9×4+4×1=36+4=40。