已知函数 f(x)=(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)，则 f'(1)=A. -105B. -48C. 48D. 105

考查要点：本题主要考查导数的乘积法则在特定点的应用，以及对多项式函数导数计算的简化技巧。

解题核心思路：
当函数由多个因子相乘构成时，直接展开求导会非常繁琐。关键点在于利用导数的乘积法则，结合特定点的特性简化计算。在本题中，当$x=1$时，其中一个因子$(x-1)$为0，而其他因子的导数项在$x=1$处的值可以直接计算，从而快速得出结果。

破题关键：

• 识别特殊点：在$x=1$处，函数中的$(x-1)$项为0，使得导数计算中只有第一个因子的导数项不为零。
• 简化乘积法则：利用乘积法则展开后，其他项因包含$(x-1)$而为零，只需计算第一个因子的导数与其余因子的乘积。

函数$f(x)=(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)$在$x=1$处的导数$f'(1)$可通过以下步骤计算：

应用乘积法则

根据乘积法则，函数$f(x)=u(x)v(x)w(x)z(x)$的导数为：
$f'(x) = u'(x)v(x)w(x)z(x) + u(x)v'(x)w(x)z(x) + u(x)v(x)w'(x)z(x) + u(x)v(x)w(x)z'(x)$

代入$x=1$的特殊性

当$x=1$时，$u(1)=0$，因此所有包含$u(x)$的项（即第二、第三、第四项）均为0。此时：
$f'(1) = u'(1) \cdot v(1) \cdot w(1) \cdot z(1)$

计算各部分值

• $u(x)=x-1$，故$u'(x)=1$，得$u'(1)=1$；
• $v(1)=1-3=-2$；
• $w(1)=1-5=-4$；
• $z(1)=1-7=-6$。

综合计算

$f'(1) = 1 \cdot (-2) \cdot (-4) \cdot (-6) = 1 \cdot (-48) = -48$