极限 lim(x to 0) (e^x - 1)/(x) 的值为()。A. 1B. 0C. eD. infty

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是等价无穷小替换和洛必达法则的应用。

解题核心思路：
当遇到$\frac{0}{0}$型不定式时，可以考虑以下两种方法：

1. 等价无穷小替换：利用已知的等价无穷小关系简化表达式。
2. 洛必达法则：对分子和分母分别求导，再求极限。

破题关键点：

• 识别等价无穷小：当$x \to 0$时，$e^x - 1$与$x$是等价无穷小，直接代入可得极限值。
• 洛必达法则的条件：确认分子分母同时趋近于0或无穷大，再对分子分母求导。

方法一：等价无穷小替换

当$x \to 0$时，$e^x - 1 \sim x$，即：
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1.$

方法二：洛必达法则

原式为$\frac{0}{0}$型不定式，对分子分母分别求导：
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(e^x - 1)}{\frac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1.$

方法三：泰勒展开

将$e^x$展开为泰勒级数：
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots,$
因此：
$\frac{e^x - 1}{x} = \frac{x + \frac{x^2}{2!} + \cdots}{x} = 1 + \frac{x}{2!} + \cdots.$
当$x \to 0$时，高阶项趋近于0，故极限为1。