现有8箱不同的礼品，随机从中抽出4箱分别发给甲乙两个班级各2箱，那么一共有（ ）种不同的方案。A. 420B. 80C. 140D. 320

本题考查排列组合的知识，解题思路是先从$8$箱礼品中选出$4$箱，再将选出的$4$箱平均分成两组分别发给甲乙两个班级。

步骤一：从$8$箱礼品中选$4$箱

从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数记为$C_{n}^m$，其计算公式为$C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}$。
从$8$箱不同的礼品中随机抽出$4$箱，即$n = 8$，$m = 4$，那么选法有$C_{8}^4$种。
根据组合数公式可得：
$\begin{align*}C_{8}^4&=\frac{8!}{4!(8 - 4)!}\\&=\frac{8\times7\times6\times5}{4\times3\times2\times1}\\&=70\end{align*}$

步骤二：将选出的$4$箱平均分成两组分别发给甲乙两个班级

将$4$箱礼品平均分成两组，有$\frac{C_{4}^2C_{2}^2}{A_{2}^2}$种分法。这里除以$A_{2}^2$是因为这两组的顺序是无关的，避免重复计算。

• 先从$4$箱中选$2$箱给甲班，有$C_{4}^2$种选法，根据组合数公式可得：
  $\begin{align*}C_{4}^2&=\frac{4!}{2!(4 - 2)!}\\&=\frac{4\times3}{2\times1}\\&=6\end{align*}$
• 剩下$2$箱自然给乙班，有$C_{2}^2 = 1$种选法。
• 而$A_{2}^2 = 2\times1 = 2$。
  所以将$4$箱礼品平均分成两组的分法有$\frac{C_{4}^2C_{2}^2}{A_{2}^2}=\frac{6\times1}{2}= 3$种。

步骤三：计算总的方案数

根据分步乘法计数原理：完成一件事需要$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有$m_2$种不同的方法……做第$n$步有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N = m_1\times m_2\times\cdots\times m_n$种不同的方法。
所以总的方案数为从$8$箱中选$4$箱的方法数乘以将$4$箱平均分成两组的方法数，即$70\times3 = 210$种。

但是这里我们可以换一种思路，先从$8$箱中选$2$箱给甲班，再从剩下的$6$箱中选$2$箱给乙班。

• 从$8$箱中选$2$箱给甲班，有$C_{8}^2$种选法，根据组合数公式可得：
  $\begin{align*}C_{8}^2&=\frac{8!}{2!(8 - 2)!}\\&=\frac{8\times7}{2\times1}\\&=28\end{align*}$
• 从剩下的$6$箱中选$2$箱给乙班，有$C_{6}^2$种选法，根据组合数公式可得：
  $\begin{align*}C_{6}^2&=\frac{6!}{2!(6 - 2)!}\\&=\frac{6\times5}{2\times1}\\&=15\end{align*}$
  根据分步乘法计数原理，总的方案数为$C_{8}^2\times C_{6}^2 = 28\times15 = 420$种。