17.（单选题，2.0分）设xi_(1),xi_(2),...,xi_(n)来自正态总体N(mu,sigma^2)，overline(xi)是样本均值记S_(1)^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(xi_(i)-overline(xi))^2,S_(2)^2=(1)/(n)sum_(i=1)^n(xi_(i)-overline(xi))^2,S_(3)^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(xi_(i)-mu)^2,S_(4)^2=(1)/(n)sum_(i=1)^n(xi_(i)-mu)^2则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是（）。A. T_(1)=((overline(xi)-mu)sqrt(n-1))/(S_(1))B. T_(2)=((overline(xi)-mu)sqrt(n-1))/(S_(2))

考查要点：本题主要考查t分布的构造条件及样本方差的不同估计量在统计推断中的应用。

解题核心思路：

1. t分布的定义：若随机变量 $T = \frac{Z}{\sqrt{V/(n-1)}}$，其中 $Z \sim N(0,1)$，$V \sim \chi^2(n-1)$ 且独立，则 $T$ 服从自由度为 $n-1$ 的 t 分布。
2. 关键条件：需验证选项中分子是否为标准正态变量，分母是否为卡方变量的标准化形式，且两者独立。

破题关键点：

• 样本均值的标准化：$\frac{\overline{\xi} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$。
• 样本方差的卡方分布：$\frac{(n-1)S_1^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。
• 选项中分母的方差估计量需满足卡方分布的条件，且与分子独立。

选项分析

选项 A：$T_1 = \frac{(\overline{\xi} - \mu)\sqrt{n-1}}{S_1}$

1. 分子标准化：$\frac{\overline{\xi} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$，但分子实际为 $(\overline{\xi} - \mu)\sqrt{n-1}$，与标准正态变量不匹配。
2. 分母构造：$S_1^2$ 是无偏估计，$\frac{(n-1)S_1^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，但分母未正确标准化为 $\sqrt{V/(n-1)}$。
3. 结论：分子分母不匹配，不符合 t 分布。

选项 B：$T_2 = \frac{(\overline{\xi} - \mu)\sqrt{n-1}}{S_2}$

1. 分子标准化：$\frac{\overline{\xi} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$，实际分子为 $(\overline{\xi} - \mu)\sqrt{n-1}$，需调整。
2. 分母构造：$S_2^2 = \frac{1}{n}\sum(\xi_i - \overline{\xi})^2 = \frac{n-1}{n}S_1^2$，因此 $S_2 = S_1 \sqrt{\frac{n-1}{n}}$。
3. 化简表达式：
   $T_2 = \frac{(\overline{\xi} - \mu)\sqrt{n-1}}{S_2} = \frac{(\overline{\xi} - \mu)\sqrt{n-1}}{S_1 \sqrt{\frac{n-1}{n}}} = \frac{(\overline{\xi} - \mu)\sqrt{n}}{S_1}.$
4. 验证 t 分布形式：
   • 分子：$\frac{\overline{\xi} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$。
   • 分母：$\sqrt{\frac{(n-1)S_1^2/\sigma^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{S_1^2}{\sigma^2}} = \frac{S_1}{\sigma}$。
   • 合并后：$T = \frac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2(n-1)/(n-1)}}$，符合 t 分布定义。