题目
18.设X12X2···2n为来自参数为λ的泊松分布的简-|||-单随机样本,X和S ^2分别为样本均值和样本方差,-|||-若 dfrac (1)(3)overline (X)+(a.5)^2 为λ的无偏估计量,则 a= __ (用分数-|||-表示)-|||-第1空-|||-请输入答案
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解泊松分布的性质
泊松分布的均值和方差都是λ。因此，对于样本均值$\overline{X}$和样本方差$S^2$，我们有$E(\overline{X}) = \lambda$和$E(S^2) = \lambda$。
步骤 2：无偏估计量的定义
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真值。因此，对于$\dfrac{1}{3}\overline{X} + aS^2$为λ的无偏估计量，我们有$E\left(\dfrac{1}{3}\overline{X} + aS^2\right) = \lambda$。
步骤 3：计算期望值
根据期望的线性性质，我们有$E\left(\dfrac{1}{3}\overline{X} + aS^2\right) = \dfrac{1}{3}E(\overline{X}) + aE(S^2) = \dfrac{1}{3}\lambda + a\lambda$。由于$\dfrac{1}{3}\overline{X} + aS^2$为λ的无偏估计量，因此$\dfrac{1}{3}\lambda + a\lambda = \lambda$。
步骤 4：求解a
将$\dfrac{1}{3}\lambda + a\lambda = \lambda$简化为$(\dfrac{1}{3} + a)\lambda = \lambda$，从而得到$\dfrac{1}{3} + a = 1$。解得$a = \dfrac{2}{3}$。
泊松分布的均值和方差都是λ。因此，对于样本均值$\overline{X}$和样本方差$S^2$，我们有$E(\overline{X}) = \lambda$和$E(S^2) = \lambda$。
步骤 2：无偏估计量的定义
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真值。因此，对于$\dfrac{1}{3}\overline{X} + aS^2$为λ的无偏估计量，我们有$E\left(\dfrac{1}{3}\overline{X} + aS^2\right) = \lambda$。
步骤 3：计算期望值
根据期望的线性性质，我们有$E\left(\dfrac{1}{3}\overline{X} + aS^2\right) = \dfrac{1}{3}E(\overline{X}) + aE(S^2) = \dfrac{1}{3}\lambda + a\lambda$。由于$\dfrac{1}{3}\overline{X} + aS^2$为λ的无偏估计量，因此$\dfrac{1}{3}\lambda + a\lambda = \lambda$。
步骤 4：求解a
将$\dfrac{1}{3}\lambda + a\lambda = \lambda$简化为$(\dfrac{1}{3} + a)\lambda = \lambda$，从而得到$\dfrac{1}{3} + a = 1$。解得$a = \dfrac{2}{3}$。