题目

下列函数中，哪几个是算符 (d^2)/(dx^2) 的本征函数？若是，求出其本征值。e^x, sin x, 2cos x, x^3, sin x + cos x

下列函数中，哪几个是算符 $\frac{d^2}{dx^2}$ 的本征函数？若是，求出其本征值。

$e^x, \sin x, 2\cos x, x^3, \sin x + \cos x$

题目解答

答案

逐一分析各函数： 1. $\frac{d^2}{dx^2} e^x = e^x$，故 $e^x$ 是本征函数，$\lambda = 1$。 2. $\frac{d^2}{dx^2} \sin x = -\sin x$，故 $\sin x$ 是本征函数，$\lambda = -1$。 3. $\frac{d^2}{dx^2} (2\cos x) = -2\cos x$，故 $2\cos x$ 是本征函数，$\lambda = -1$。 4. $\frac{d^2}{dx^2} x^3 = 6x$，非 $x^3$ 的常数倍，故 $x^3$ 不是本征函数。 5. $\frac{d^2}{dx^2} (\sin x + \cos x) = -(\sin x + \cos x)$，故 $\sin x + \cos x$ 是本征函数，$\lambda = -1$。 结论： - $e^x$：本征值 $1$。 - $\sin x$：本征值 $-1$。 - $2\cos x$：本征值 $-1$。 - $x^3$：非本征函数。 - $\sin x + \cos x$：本征值 $-1$。

解析

本题考查算符本征函数和本征值的概念。解题思路是根据本征函数的定义，对于给定的算符 $\hat{A}$ 和函数 $\psi(x)$，若满足 $\hat{A}\psi(x)=\lambda\psi(x)$，其中 $\lambda$ 为常数，则称 $\psi(x)$ 是算符 $\hat{A}$ 的本征函数，$\lambda$ 为对应的本征值。我们需要对每个函数分别求其二阶导数，然后判断二阶导数是否为原函数的常数倍，若是，则该函数是算符 $\frac{d^2}{dx^2}$ 的本征函数，此常数即为其本征值。

  1. 对于函数 $y = e^x$：
    • 根据求导公式 $(e^x)^\prime=e^x$，对 $y = e^x$ 求一阶导数，$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$。
    • 再求二阶导数，$\frac{d^2}{dx^2}(e^x)=\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$。
    • 可以写成 $\frac{d^2}{dx^2}(e^x)=1\times e^x$，满足本征函数的定义，所以 $e^x$ 是算符 $\frac{d^2}{dx^2}$ 的本征函数，本征值 $\lambda = 1$。
  2. 对于函数 $y=\sin x$：
    • 根据求导公式 $(\sin x)^\prime=\cos x$，对 $y = \sin x$ 求一阶导数，$\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$。
    • 再根据求导公式 $(\cos x)^\prime=-\sin x$，求二阶导数，$\frac{d^2}{dx^2}(\sin x)=\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$。
    • 可以写成 $\frac{d^2}{dx^2}(\sin x)=(-1)\times\sin x$，满足本征函数的定义，所以 $\sin x$ 是算符 $\frac{d^2}{dx^2}$ 的本征函数，本征值 $\lambda=-1$。
  3. 对于函数 $y = 2\cos x$：
    • 根据求导公式 $(\cos x)^\prime=-\sin x$，对 $y = 2\cos x$ 求一阶导数，$\frac{d}{dx}(2\cos x)=2\frac{d}{dx}(\cos x)=-2\sin x$。
    • 再根据求导公式 $(\sin x)^\prime=\cos x$，求二阶导数，$\frac{d^2}{dx^2}(2\cos x)=\frac{d}{dx}(-2\sin x)=-2\frac{d}{dx}(\sin x)=-2\cos x$。
    • 可以写成 $\frac{d^2}{dx^2}(2\cos x)=(-1)\times(2\cos x)$，满足本征函数的定义，所以 $2\cos x$ 是算符 $\frac{d^2}{dx^2}$ 的本征函数，本征值 $\lambda=-1$。
  4. 对于函数 $y = x^3$：
    • 根据求导公式 $(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，对 $y = x^3$ 求一阶导数，$\frac{d}{dx}(x^3)=3x^{3-1}=3x^2$。
    • 再求二阶导数，$\frac{d^2}{dx^2}(x^3)=\frac{d}{dx}(3x^2)=3\times2x^{2 - 1}=6x$。
    • 因为 $6x$ 不是 $x^3$ 的常数倍，不满足本征函数的定义，所以 $x^3$ 不是算符 $\frac{d^2}{dx^2}$ 的本征函数。
  5. 对于函数 $y=\sin x+\cos x$：
    • 先求一阶导数，根据求导的加法法则 $(\uplus v)^\prime=\uplus^\prime+v^\prime$，$\frac{d}{dx}(\sin x+\cos x)=\frac{d}{dx}(\sin x)+\frac{d}{dx}(\cos x)=\cos x-\sin x$。
    • 再求二阶导数，$\frac{d^2}{dx^2}(\sin x+\cos x)=\frac{d}{dx}(\cos x-\sin x)=\frac{d}{dx}(\cos x)-\frac{d}{dx}(\sin x)=-\sin x-\cos x=-(\sin x+\cos x)$。
    • 可以写成 $\frac{d^2}{dx^2}(\sin x+\cos x)=(-1)\times(\sin x+\cos x)$，满足本征函数的定义，所以 $\sin x+\cos x$ 是算符 $\frac{d^2}{dx^2}$ 的本征函数，本征值 $\lambda=-1$。