某银行为缩短顾客到银行办理业务等待的时间，准备采用两种排队方式进行试验。一种是所有顾客都进入一个等待队列；另一种是顾客在3个业务窗口处列3 队等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短。两种排队方式各随机抽取9 名顾客，得到第一种排队方式的平均等待时间为7.2分钟，标准差为1.97分钟，第 二种排队方式的等待时间(单位：分钟)如下：5.5 6.6 6.7 6.8 7.1 7.3 7.4 7.8 7.8(1)计算第二种排队方式等待时间的平均数和标准差；(2)比较两种排队方式等待时间的离散程度；(3)如果让你选择一种排队方式，你会选择哪一种？试说明理由。
某银行为缩短顾客到银行办理业务等待的时间，准备采用两种排队方式进行试验。一种是所有顾客都进入一个等待队列；另一种是顾客在3个业务窗口处列3 队等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短。两种排队方式各随机抽取9 名顾客，得到第一种排队方式的平均等待时间为7.2分钟，标准差为1.97分钟，第 二种排队方式的等待时间(单位：分钟)如下：
(1)计算第二种排队方式等待时间的平均数和标准差；
(2)比较两种排队方式等待时间的离散程度；
(3)如果让你选择一种排队方式，你会选择哪一种？试说明理由。
题目解答
答案
(1)平均数：$$\frac{1}{9}\times (5.5+6.6+6.7+6.8+7.1+7.3+7.4+7.8+7.8)$$$$=7$$(分钟)，
标准差：$$\sqrt{\frac{1}{8}\times [(5.5-7)^2+(6.6-7)^2+(6.7-7)^2+(6.8-7)^2+(7.1-7)^2+(7.3-7)^2+(7.4-7)^2+(7.8-7)^2+(7.8-7)^2]} $$$$\approx $$0.71(分钟)
(2)1.97>0.71，第一种排队方式更离散。
(3)选择第二种，不仅平均排队时间短，而且较为稳定，离散程度低。
解析
考查要点：本题主要考查平均数和标准差的计算，以及利用标准差比较数据离散程度的能力。
解题思路：
- 平均数是数据的中心位置度量，计算所有数据之和除以数量；
- 标准差反映数据波动大小，计算时需注意样本标准差的分母为$n-1$；
- 比较标准差大小即可判断离散程度，标准差越大离散程度越高；
- 选择排队方式需综合考虑平均等待时间和稳定性（离散程度）。
第（1）题
计算平均数
将第二种排队方式的数据相加：
$5.5 + 6.6 + 6.7 + 6.8 + 7.1 + 7.3 + 7.4 + 7.8 + 7.8 = 63$
平均数为：
$\frac{63}{9} = 7 \text{（分钟）}$
计算标准差
-
计算各数据与平均数的差的平方：
$\begin{align*} (5.5-7)^2 &= 2.25, \\ (6.6-7)^2 &= 0.16, \\ (6.7-7)^2 &= 0.09, \\ (6.8-7)^2 &= 0.04, \\ (7.1-7)^2 &= 0.01, \\ (7.3-7)^2 &= 0.09, \\ (7.4-7)^2 &= 0.16, \\ (7.8-7)^2 &= 0.64, \\ (7.8-7)^2 &= 0.64. \end{align*}$ -
求和并计算方差：
$\text{方差} = \frac{1}{8} \times (2.25 + 0.16 + 0.09 + 0.04 + 0.01 + 0.09 + 0.16 + 0.64 + 0.64) = \frac{4.08}{8} = 0.51$ -
求标准差：
$\sqrt{0.51} \approx 0.71 \text{（分钟）}$
第（2）题
比较两种排队方式的标准差：
- 第一种标准差：$1.97$ 分钟
- 第二种标准差：$0.71$ 分钟
结论：$1.97 > 0.71$，说明第一种排队方式的等待时间离散程度更高。
第（3）题
选择第二种排队方式，理由如下：
- 平均等待时间更短：第二种平均时间为$7$分钟，低于第一种的$7.2$分钟；
- 离散程度更低：标准差更小，说明等待时间更稳定，波动更小，顾客体验更佳。