题目
8.每次射击中，命中目标的炮弹数的数学期望为2，标准差为1.5，求在100次射击中有18到220发炮弹命中目标的概率。(已知Φ(1.32)=0.9066，Φ(1.33)=0.9082，Φ(1.34)=0.9099)
8.每次射击中，命中目标的炮弹数的数学期望为2，标准差为1.5，求在100次射击中有18到220发炮弹命中目标的概率。(已知$Φ(1.32)=0.9066$，$Φ(1.33)=0.9082$，$Φ(1.34)=0.9099$)
题目解答
答案
设每次射击命中炮弹数为 $\xi_i$，则 $E(\xi_i) = 2$，$D(\xi_i) = (1.5)^2 = 2.25$。
令 $X = \sum_{i=1}^{100} \xi_i$，则 $E(X) = 200$，$D(X) = 225$，标准差 $\sigma = 15$。
由中心极限定理，$X$ 近似服从 $N(200, 15^2)$。
标准化得 $Z = \frac{X - 200}{15}$，则
\[
P(180 < X \leq 220) = P\left(-\frac{20}{15} < Z \leq \frac{20}{15}\right) = P(-1.33 < Z \leq 1.33) = 2\Phi(1.33) - 1.
\]
查表得 $\Phi(1.33) = 0.9082$，故
\[
P(-1.33 < Z \leq 1.33) = 2 \times 0.9082 - 1 = 0.8164.
\]
**答案：** $\boxed{0.8164}$
解析
步骤 1：定义随机变量
设每次射击命中炮弹数为 $\xi_i$，则 $E(\xi_i) = 2$，$D(\xi_i) = (1.5)^2 = 2.25$。
步骤 2：定义总命中数
令 $X = \sum_{i=1}^{100} \xi_i$，则 $E(X) = 100 \times E(\xi_i) = 200$，$D(X) = 100 \times D(\xi_i) = 225$，标准差 $\sigma = \sqrt{225} = 15$。
步骤 3：应用中心极限定理
由中心极限定理，$X$ 近似服从 $N(200, 15^2)$。标准化得 $Z = \frac{X - 200}{15}$。
步骤 4：计算概率
\[ P(180 < X \leq 220) = P\left(-\frac{20}{15} < Z \leq \frac{20}{15}\right) = P(-1.33 < Z \leq 1.33) = 2\Phi(1.33) - 1. \]
步骤 5：查表并计算
查表得 $\Phi(1.33) = 0.9082$，故 \[ P(-1.33 < Z \leq 1.33) = 2 \times 0.9082 - 1 = 0.8164. \]
设每次射击命中炮弹数为 $\xi_i$，则 $E(\xi_i) = 2$，$D(\xi_i) = (1.5)^2 = 2.25$。
步骤 2：定义总命中数
令 $X = \sum_{i=1}^{100} \xi_i$，则 $E(X) = 100 \times E(\xi_i) = 200$，$D(X) = 100 \times D(\xi_i) = 225$，标准差 $\sigma = \sqrt{225} = 15$。
步骤 3：应用中心极限定理
由中心极限定理，$X$ 近似服从 $N(200, 15^2)$。标准化得 $Z = \frac{X - 200}{15}$。
步骤 4：计算概率
\[ P(180 < X \leq 220) = P\left(-\frac{20}{15} < Z \leq \frac{20}{15}\right) = P(-1.33 < Z \leq 1.33) = 2\Phi(1.33) - 1. \]
步骤 5：查表并计算
查表得 $\Phi(1.33) = 0.9082$，故 \[ P(-1.33 < Z \leq 1.33) = 2 \times 0.9082 - 1 = 0.8164. \]