题目
539 已知随机变量X与Y的相关系数为ρ xy 且 (rho )_(xy)neq 0, 设 =ax+b, 其中a,b为常数,-|||-则Y与Z的相关系数 (rho )_(Yz)=(rho )_(xy) 的充要条件是-|||-(A) =1. (B) gt 0.-|||-(C) lt 0. (D) neq 0.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算Y与Z的协方差
根据协方差的定义，我们有 $Cov(Y,Z) = Cov(Y, aX + b) = aCov(Y, X)$，因为协方差的线性性质。
步骤 2：计算Z的方差
根据方差的定义，我们有 $DZ = D(aX + b) = a^2DX$，因为方差的线性性质。
步骤 3：计算Y与Z的相关系数
根据相关系数的定义，我们有 $\rho_{YZ} = \frac{Cov(Y,Z)}{\sqrt{DY} \cdot \sqrt{DZ}} = \frac{aCov(Y,X)}{\sqrt{DY} \cdot \sqrt{a^2DX}} = \frac{a}{|a|} \rho_{XY}$。
步骤 4：确定条件
要使 $\rho_{YZ} = \rho_{XY}$，则需要 $\frac{a}{|a|} = 1$，即 $a > 0$。
根据协方差的定义，我们有 $Cov(Y,Z) = Cov(Y, aX + b) = aCov(Y, X)$，因为协方差的线性性质。
步骤 2：计算Z的方差
根据方差的定义，我们有 $DZ = D(aX + b) = a^2DX$，因为方差的线性性质。
步骤 3：计算Y与Z的相关系数
根据相关系数的定义，我们有 $\rho_{YZ} = \frac{Cov(Y,Z)}{\sqrt{DY} \cdot \sqrt{DZ}} = \frac{aCov(Y,X)}{\sqrt{DY} \cdot \sqrt{a^2DX}} = \frac{a}{|a|} \rho_{XY}$。
步骤 4：确定条件
要使 $\rho_{YZ} = \rho_{XY}$，则需要 $\frac{a}{|a|} = 1$，即 $a > 0$。