1 随机变量X～N (3, 4), (1) 求 P(2<X≤5) , P(- 4<X≤10), P(|X|>2), P(X>3)；(2) 确定c，使得 P(X>c) = P(X<c)。

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算及对称性应用。
解题思路：

1. 标准化转换：将给定的正态分布变量转化为标准正态分布变量 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，利用标准正态分布表计算概率。
2. 对称性应用：正态分布关于均值对称，利用对称性简化计算。
   关键点：

• 参数识别：$X \sim N(3,4)$ 中，$\mu = 3$，$\sigma = 2$（方差为4）。
• 绝对值处理：$P(|X| > 2)$ 需拆分为 $P(X > 2) + P(X < -2)$。
• 对称点确定：$P(X > c) = P(X < c)$ 时，$c$ 必为均值 $\mu$。

第（1）题

(i) $P(2 < X \leq 5)$

1. 标准化：
   • $Z_1 = \frac{2 - 3}{2} = -0.5$，对应标准正态分布概率 $0.3085$。
   • $Z_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1$，对应概率 $0.8413$。
2. 计算差值：
   $P(2 < X \leq 5) = 0.8413 - 0.3085 = 0.5328.$

(ii) $P(-4 < X \leq 10)$

1. 标准化：
   • $Z_1 = \frac{-4 - 3}{2} = -3.5$，对应概率接近 $0$。
   • $Z_2 = \frac{10 - 3}{2} = 3.5$，对应概率接近 $1$。
2. 计算差值：
   $P(-4 < X \leq 10) \approx 1 - 0 = 0.9996.$

(iii) $P(|X| > 2)$

1. 拆分概率：
   $P(|X| > 2) = P(X > 2) + P(X < -2).$
2. 标准化：
   • $X > 2$：$Z = \frac{2 - 3}{2} = -0.5$，对应概率 $0.3085$，故 $P(X > 2) = 1 - 0.3085 = 0.6915$.
   • $X < -2$：$Z = \frac{-2 - 3}{2} = -2.5$，对应概率 $0.0062$.
3. 求和：
   $P(|X| > 2) = 0.6915 + 0.0062 = 0.6977.$

(iv) $P(X > 3)$

• 对称性：$X$ 的均值为 $3$，故 $P(X > 3) = 0.5$.

第（2）题

对称性分析：
正态分布关于均值 $\mu = 3$ 对称，因此当 $c = 3$ 时，$P(X > c) = P(X < c) = 0.5$.