题目

[题目] 设某种产品50件为一批,如果每批产品中-|||-没有次品的概率为0.35,有1,2,3,4件次品的概率分-|||-别为0.25,0.2,0,18,0.02。今从某批产品中任取10-|||-件,检查出一件次品,求该批产品中次品不超过2件-|||-的概率?

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查条件概率和贝叶斯定理的应用，涉及全概率公式的计算。需要根据已知的次品分布概率，结合抽样结果，计算后验概率。

解题核心思路：

  1. 明确事件定义：设$A_i$表示“这批产品有$i$件次品”（$i=0,1,2,3,4$），$B$表示“任取10件检查出1件次品”，目标是求$P(A_0 \cup A_1 \cup A_2 | B)$。
  2. 应用全概率公式：计算$P(B)$，即所有可能次品数下抽到1件次品的总概率。
  3. 应用贝叶斯公式：分别计算$P(A_i | B)$（$i=0,1,2$），再求和。

破题关键点：

  • 正确计算条件概率$P(B|A_i)$，需用组合数公式。
  • 准确代入全概率公式和贝叶斯公式，注意各步骤的数值计算。

步骤1：定义事件与已知条件

  • $A_i$：这批产品有$i$件次品，$i=0,1,2,3,4$，对应概率分别为$P(A_0)=0.35$，$P(A_1)=0.25$，$P(A_2)=0.2$，$P(A_3)=0.18$，$P(A_4)=0.02$。
  • $B$：从50件中任取10件，检查出1件次品。

步骤2：计算条件概率$P(B|A_i)$

  • 当$i=0$时：无次品，无法抽到次品，故$P(B|A_0)=0$。
  • 当$i=1$时：从1件次品中选1件，从49件正品中选9件：
    $P(B|A_1) = \frac{C_1^1 \cdot C_{49}^9}{C_{50}^{10}} = \frac{1}{5}.$
  • 当$i=2$时：从2件次品中选1件，从48件正品中选9件：
    $P(B|A_2) = \frac{C_2^1 \cdot C_{48}^9}{C_{50}^{10}} = \frac{16}{49}.$
  • 当$i=3$时：
    $P(B|A_3) = \frac{C_3^1 \cdot C_{47}^9}{C_{50}^{10}} = \frac{39}{98}.$
  • 当$i=4$时：
    $P(B|A_4) = \frac{C_4^1 \cdot C_{46}^9}{C_{50}^{10}} = \frac{988}{2303}.$

步骤3：应用全概率公式计算$P(B)$

$\begin{aligned}P(B) &= \sum_{i=0}^4 P(A_i) \cdot P(B|A_i) \\&= 0.35 \cdot 0 + 0.25 \cdot \frac{1}{5} + 0.2 \cdot \frac{16}{49} + 0.18 \cdot \frac{39}{98} + 0.02 \cdot \frac{988}{2303} \\&\approx 0.196.\end{aligned}$

步骤4：应用贝叶斯公式计算后验概率

  • $P(A_0|B)$：$P(A_0|B) = \frac{0.35 \cdot 0}{0.196} = 0$。
  • $P(A_1|B)$：$\frac{0.25 \cdot \frac{1}{5}}{0.196} \approx 0.2551$。
  • $P(A_2|B)$：$\frac{0.2 \cdot \frac{16}{49}}{0.196} \approx 0.3333$。

步骤5：求和得到最终结果

$P(A_0 \cup A_1 \cup A_2 | B) = 0 + 0.2551 + 0.3333 \approx 0.588.$