题目

原子处于某激发态的平均寿命Delta t,若原子从此态跃迁到基态时辐射的光子为Delta t,,则谱线宽度Delta t,(提示:基态能级宽度可视为零,跃迁光子的能量范围Delta t,即激发态的能级宽度Delta t,。由能量和时间的不确定关系,光子能量公式求出Delta t,。)Delta t,Delta t,Delta t,Delta t,

原子处于某激发态的平均寿命 $\triangle t,$ 若原子从此态跃迁到基态时辐射的光子为 $\lambda$ ,则谱线宽度 $\triangle\lambda(\ \ \ )$ (提示:基态能级宽度可视为零,跃迁光子的能量范围 $\triangle\varepsilon$ 即激发态的能级宽度 $\triangle E$ 。由能量和时间的不确定关系,光子能量公式求出 $\triangle E和\triangle\varepsilon$ 。)

$A.\triangle\lambda\ge\frac{\lambda}{4\pi c\Delta t}$

$B.\triangle\lambda\ge\frac{\lambda^2}{2c\Delta t}$

$C.\triangle\lambda\ge\frac{\lambda^2}{c\Delta t}$

$D.\triangle\lambda\ge\frac{\lambda^2}{4\pi c\triangle t}$

题目解答

答案

根据能量和时间的不确定关系： $\Delta E\Delta t\ge\frac{\hbar}{2}$

光子能量 $\varepsilon=h\nu=\frac{hc}{\lambda}$

所以 $\Delta\varepsilon=\frac{hc\Delta\lambda}{\lambda^2}$

又因为 $\Delta E=\Delta\varepsilon$ ，且 $\Delta E\Delta t\ge\frac{\hbar}{2}$

$\begin{align*} \frac{hc\Delta \lambda}{\lambda^2}\Delta t&\geq \frac{\hbar}{2}\\ \Delta \lambda &\geq \frac{\hbar\lambda^2}{2hc\Delta t}\\ \end{align*}$

因为 $\hbar=\frac{h}{2\pi}$ ，h为普朗克常量，c为光速

$\begin{align*} \Delta \lambda &\geq \frac{h\lambda^2}{4\pi c\Delta t}\\ \end{align*}$

所以选择 D.

解析

步骤 1：能量和时间的不确定关系
根据能量和时间的不确定关系，我们有：
\[ \Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} \]
其中，$\Delta E$ 是能量的不确定度，$\Delta t$ 是时间的不确定度，$\hbar$ 是约化普朗克常量。

步骤 2：光子能量与波长的关系
光子的能量$E$与波长$\lambda$的关系为：
\[ E = \frac{hc}{\lambda} \]
其中，$h$ 是普朗克常量，$c$ 是光速。因此，能量的不确定度$\Delta E$与波长的不确定度$\Delta \lambda$的关系为：
\[ \Delta E = \frac{hc}{\lambda^2} \Delta \lambda \]

步骤 3：结合不确定关系求解谱线宽度
将步骤 2 中的$\Delta E$代入步骤 1 中的不确定关系，得到：
\[ \frac{hc}{\lambda^2} \Delta \lambda \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} \]
由于$\hbar = \frac{h}{2\pi}$，代入上式，得到：
\[ \frac{hc}{\lambda^2} \Delta \lambda \Delta t \geq \frac{h}{4\pi} \]
化简得到：
\[ \Delta \lambda \geq \frac{\lambda^2}{4\pi c \Delta t} \]