题目
设X1、X1是总体X~N ( 0 , 4 )的样本，若X1，则a=（）( A ) 0.5 ( B ) 0.25 ( C ) 4 ( D ) 2
设
、
是总体X~N ( 0 , 4 )的样本，若
，则a=（）
( A ) 0.5
( B ) 0.25
( C ) 4
( D ) 2
题目解答
答案
∵、是总体X~N ( 0 , 4 )的样本
即
，
∴
即
∴
故答案为：B。
解析
步骤 1：确定样本分布
X1、X2是总体X~N ( 0 , 4 )的样本，即X1和X2分别服从均值为0，方差为4的正态分布。
步骤 2：标准化样本
由于X1和X2服从正态分布，我们可以将它们标准化，即$\dfrac {{X}_{1}}{2}\sim N(0,1)$，$\dfrac {{X}_{2}}{2}\sim N(0,1)$。
步骤 3：计算卡方分布
根据卡方分布的定义，若随机变量Y1和Y2分别服从标准正态分布，则${Y}_{1}^{2}+{Y}_{2}^{2}\sim {\chi }^{2}(2)$。因此，${(\dfrac {{X}_{1}}{2})}^{2}+{(\dfrac {{X}_{2}}{2})}^{2}\sim {\chi }^{2}(2)$。
步骤 4：确定a的值
根据题目条件，$a({{X}_{1}}^{2}+{{X}_{2}}^{2})\sim {X}^{2}(2)$，将步骤3的结果代入，得到$\dfrac {1}{{2}^{2}}({{X}_{1}}^{2}+{{X}_{2}}^{2})\sim {X}^{2}(2)$，因此$a=\dfrac {1}{{2}^{2}}=0.25$。
X1、X2是总体X~N ( 0 , 4 )的样本，即X1和X2分别服从均值为0，方差为4的正态分布。
步骤 2：标准化样本
由于X1和X2服从正态分布，我们可以将它们标准化，即$\dfrac {{X}_{1}}{2}\sim N(0,1)$，$\dfrac {{X}_{2}}{2}\sim N(0,1)$。
步骤 3：计算卡方分布
根据卡方分布的定义，若随机变量Y1和Y2分别服从标准正态分布，则${Y}_{1}^{2}+{Y}_{2}^{2}\sim {\chi }^{2}(2)$。因此，${(\dfrac {{X}_{1}}{2})}^{2}+{(\dfrac {{X}_{2}}{2})}^{2}\sim {\chi }^{2}(2)$。
步骤 4：确定a的值
根据题目条件，$a({{X}_{1}}^{2}+{{X}_{2}}^{2})\sim {X}^{2}(2)$，将步骤3的结果代入，得到$\dfrac {1}{{2}^{2}}({{X}_{1}}^{2}+{{X}_{2}}^{2})\sim {X}^{2}(2)$，因此$a=\dfrac {1}{{2}^{2}}=0.25$。