题目

一、选择题( https:/img.zuoyebang.cc/zyb_6659f2918f42a6df0f088a5d7bb554eb.jpgbacksim 4 题,每题6分,共24分)-|||-1.设随机变量X和Y都服从标准正态分布,则 ()-|||-(A) +y 服从正态分布 (B) ^2+(y)^2 服从x^2分布-|||-(C)X^2和Y^2都服从x^2分布 (D) ^2/(y)^2 服从F分布-|||-2.设X1,X2,··· _(n)(ngeqslant 2) 为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,S^2 ^2为样本方-|||-差,则 ()-|||-(A) overline (X)approx N(0,1) (B) (S)^2approx (x)^2(n)-|||-(C) dfrac ((n-1)overline {x)}(s)approx t(n-1) (D) dfrac ((n-1){{X)_(1)}^2}(sum _{i=1)^n({X)_(i)}^2}approx F(1,n-1)-|||-3.设总体X服从正态分布N(0,σ^2 )(0^2已知),X 1,···,Xn是取自总体X的简单随机样本,S^2-|||-为样本方差,则 ()-|||-A) sum _(i=1)^n({X)_(i)}^2approx (chi )^2(n) (B) ((dfrac {{X)_(i)}(q))}^2+dfrac ((n-1){S)^2}({sigma )^2}approx (chi )^2(n)-|||-(C) dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n((dfrac {{X)_(i)}(q))}^2+dfrac ((n-1){S)^2}({sigma )^2}approx (chi )^2(n) (D)1/( (2/3 (x1)/2+(n-1)/2 )S^2 ~x^2(n)-|||-≌(x/a)^2+((x-1)/2~x^2(n)-|||-4.设总体X服从正态分布N(μ1,σ^2 ),总体Y服从正态分布N(μ2,σ^2 ),X1,X2,···,,,,nn,11-|||-Y2,···,Yn,分别是来自总体X和Y的简单随机样本,则-|||-等于 ()-|||-(A) ((n)_(1)+(n)_(2)-2)(sigma )^2 (B) ({n)_(1)(0)^2}+({n)_(2)(sigma )^2}-|||-(C) o^2 (D) dfrac ({sigma )^2}({n)_(1)+(n)_(2)-2}

题目解答

答案

解析

考查要点：

  1. 正态分布、卡方分布、t分布、F分布的性质；
  2. 样本均值与样本方差的分布；
  3. 统计量的构造与自由度计算。

解题核心思路：

  • 正态变量平方服从卡方分布，独立卡方变量之和仍为卡方分布；
  • 样本均值与方差的独立性（正态总体下）；
  • t分布与F分布的构造条件（如标准化均值与样本方差的比值、两个卡方变量的比值等）。

破题关键点：

  • 明确各统计量的定义及对应的自由度；
  • 注意独立性对统计量组合分布的影响；
  • 区分不同分布的构造形式（如卡方分布的自由度、t分布的分母自由度等）。

第1题

选项分析：

  • (A)：X+Y服从二维正态分布，但方差为$1+1=2$，即$N(0,2)$，不标准正态，错误。
  • (B)：$X^2 + Y^2$是两个独立$\chi^2(1)$之和，应为$\chi^2(2)$，但未说明自由度，错误。
  • (C)：标准正态变量平方服从$\chi^2(1)$，正确。
  • (D)：$X^2/Y^2$需满足分母为$\chi^2$且独立，但$Y^2$是$\chi^2(1)$，构造F分布需分子分母自由度分别为1和1，但F分布定义要求分母自由度>1，错误。

答案：C

第2题

选项分析：

  • (A)：$n\overline{X} \sim N(0, n)$，非标准正态，错误。
  • (B)：$nS^2 \sim \chi^2(n-1)$，但自由度应为$n-1$，错误。
  • (C)：$\frac{(n-1)\overline{X}}{S} = \frac{\sqrt{n}\overline{X}}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$，正确。
  • (D)：分母$\sum_{i=2}^n X_i$非卡方分布，错误。

答案：C

第3题

选项分析：

  • (A)：$\sum X_i^2 \sim \chi^2(n)$，正确（因$X_i/\sigma \sim N(0,1)$）。
  • (B)：$\left(\frac{X_i}{\sigma}\right)^2 + \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \chi^2(1) + \chi^2(n-1) \sim \chi^2(n)$，正确。
  • (C)：$\frac{1}{n}\sum \left(\frac{X_i}{\sigma}\right)^2$非卡方分布，错误。
  • (D)：平方项导致结构错误，错误。

答案：B

第4题

选项分析：

  • 题目表达式应为合并方差估计：$\frac{\sum (X_i - \overline{X})^2 + \sum (Y_i - \overline{Y})^2}{n_1 + n_2 - 2} \sim \sigma^2$（无偏估计）。
  • (A)：分子应为$(n_1-1)S_X^2 + (n_2-1)S_Y^2$，错误。
  • (C)：合并方差的期望为$\sigma^2$，正确。

答案：C