排列n(n-1)...321的逆序数为____。(自然数从小到大为标准次序)A. (n(n-1))/(2)B. n(n-1)C. n(n+1)D. (n(n+1))/(2)

本题考查排列逆序数的计算。解题思路是根据逆序数的定义，依次分析排列中每个数的逆序个数，然后将它们相加，从而得到整个排列的逆序数。

下面我们来详细计算排列$n(n - 1)\cdots321$的逆序数：

• 对于数字$n$，它后面比它小的数有$n - 1$个，即$n - 1,n - 2,\cdots,3,2,1$，所以$n$的逆序个数为$n - 1$。
• 对于数字$n - 1$，它后面比它小的数有$n - 2$个，即$n - 2,n - 3,\cdots,3,2,1$，所以$n - 1$的逆序个数为$n - 2$。
• $\cdots$
• 对于数字$2$，它后面比它小的数有$1$个，即$1$，所以$2$的逆序个数为$1$。
• 对于数字$1$，它后面没有比它小的数，所以$1$的逆序个数为$0$。

那么该排列的逆序数$\tau(n(n - 1)\cdots321)$就等于每个数的逆序个数之和，即：
$\tau(n(n - 1)\cdots321)=(n - 1)+(n - 2)+\cdots+1+0$
这是一个首项$a_1 = 1$，末项$a_{n - 1}=n - 1$，项数$n - 1$的等差数列求和问题。根据等差数列求和公式$S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$，可得：
$\tau(n(n - 1)\cdots321)=\frac{(n - 1)(1 + n - 1)}{2}=\frac{n(n - 1)}{2}$