题目

(2)lim_(ntoinfty)(3n+1)/(2n+1)=(3)/(2);

(2)$\lim_{n\to\infty}\frac{3n+1}{2n+1}=\frac{3}{2}$;

题目解答

答案

根据数列极限的定义，对于任意 $\epsilon > 0$，需找到 $N$，使当 $n > N$ 时，满足： \[ \left| \frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2} \right| < \epsilon \] 化简得： \[ \left| \frac{-1}{2(2n+1)} \right| = \frac{1}{2(2n+1)} < \epsilon \] 解不等式： \[ n > \frac{1 - 2\epsilon}{4\epsilon} \] 取 $N = \left[ \frac{1}{4\epsilon} \right]$，则当 $n > N$ 时，不等式成立。 或者，利用极限性质： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3n+1}{2n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{1}{n}} = \frac{3}{2} \] **答案：** $\boxed{\frac{3}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的求解方法，特别是当分子和分母均为一次多项式时的极限计算。核心思路是通过比较最高次项的系数或将分子分母同时除以最高次项来简化表达式。

破题关键：

  1. 极限的基本性质：当$n \to \infty$时，低次项和常数项的影响可以忽略。
  2. 代数变形：将分子分母同时除以$n$，转化为更简单的形式。
  3. 极限定义的应用（选学内容）：通过严格定义证明极限值。

方法一：利用极限的性质

  1. 分子分母同除以$n$：
    $\frac{3n+1}{2n+1} = \frac{3 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{1}{n}}$
  2. 分别求极限：
    • 分子：$\lim_{n \to \infty} \left(3 + \frac{1}{n}\right) = 3 + 0 = 3$
    • 分母：$\lim_{n \to \infty} \left(2 + \frac{1}{n}\right) = 2 + 0 = 2$
  3. 相除得结果：
    $\frac{3}{2}$

方法二：根据极限定义证明

  1. 计算差值：
    $\left| \frac{3n+1}{2n+1} - \frac{3}{2} \right| = \left| \frac{2(3n+1) - 3(2n+1)}{2(2n+1)} \right| = \left| \frac{-1}{2(2n+1)} \right| = \frac{1}{2(2n+1)}$
  2. 构造不等式：
    $\frac{1}{2(2n+1)} < \epsilon \implies 2(2n+1) > \frac{1}{\epsilon} \implies n > \frac{1}{4\epsilon} - \frac{1}{2}$
  3. 取$N$：
    取$N = \left\lceil \frac{1}{4\epsilon} \right\rceil$（向上取整），则当$n > N$时，不等式成立。