8.主观题(10分)请用高斯消元法求下面的解线性方程组}16x_(1)-12x_(2)+2x_(3)+4x_(4)=1712x_(1)-8x_(2)+6x_(3)+10x_(4)=363x_(1)-13x_(2)+9x_(3)+23x_(4)=-49-6x_(1)+14x_(2)+x_(3)-28x_(4)=-54

本题考察高斯消元法求解线性方程组，核心思路是通过行变换将增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵，再进行回代求解。

步骤1：构建增广矩阵

原方程组的增广矩阵为：
$\left(\begin{array}{cccc|c}16 & -12 & 2 & 4 & 17 \\12 & -8 & 6 & 10 & 36 \\3 & -13 & 9 & 23 & -49 \\-6 & 14 & 1 & -28 & -54\end{array}\right)$

步骤2：消去第一列（化为上三角矩阵）

1. 第二行减去第一行的$\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$倍：
   $R_2 = R_2 - \frac{3}{4}R_1$，计算得：
   $\begin{pmatrix} 0 & 1 & \frac{9}{2} & 7 & \frac{87}{4} \end{pmatrix}$
2. 第三行减去第一行的$\frac{3}{16}$倍：
   $R_3 = R_3 - \frac{3}{16}R_1$，计算得：
   $\begin{pmatrix} 0 & -\frac{37}{4} & \frac{327}{16} & \frac{29}{2} & -\frac{1459}{16} \end{pmatrix}$
3. 第四行加上第一行的$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$倍：
   $R_4 = R_4 + \frac{3}{8}R_1$，计算得：
   $\begin{pmatrix} 0 & \frac{11}{2} & \frac{7}{4} & -\frac{107}{4} & -\frac{351}{8} \end{pmatrix}$

步骤3：继续消元化为行简化阶梯形

1. 第三行加上第三十七倍的第二行：
   $R_3 = R_3 + \frac{37}{4}R_2$，消去$x_2\ 4$项，得：
   $\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{327}{8} & \frac{29}{4} & \frac{1459}{16} \end{pmatrix}$
2. 第四行减去$\frac{11}{2}$倍的第二行：
   $R_4 = R_4 - \frac{11}{2}R_2$，消去$x_2$项，得：
   $\begin{pmatrix} 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \end{pmatrix}$

步骤4：回代求解

1. 从第四行开始：$-\frac{1}{2}x_4 = -\frac{1}{4}$，解得$x_4 = \frac{1}{2}$。
2. 代入第三行：$\frac{327}{8}x_3 + \frac{29}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1459}{16}$，解得$x_3 = -1$。
3. 代入第二行：$x_2 + \frac{9}{2}(-1) + 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{87}{4}$，解得$x_2 = 2$。
4. 代入第一行：$16x_1 - 12 \cdot 2 + 2(-1) + 4 \cdot \frac{1}{2} = 17$，解得$x_1 = 1$。