下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图1.80-|||-1.60-|||-1.40-|||-1.20-|||-1.00-|||-0.80-|||-1 2 3 4 s 6 7-|||-年份代码t (Ⅰ)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； (Ⅱ)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：sumlimits_(i=1)^7({{y)_(i)}}=9.32，sumlimits_(i=1)^7({{t)_(i)}({y)_(i)}}=40.17，sqrt(sumlimits_(i=1)^7{{{({{y)_(i)}-bar(y))}^2}}}=0.55，sqrt(7)≈2.646． 参考公式：相关系数r= dfrac( sumnolimits_{i=1)^7((t)_(i)- bar(t))((y)_(i)- bar(y))}( sqrt( sumnolimits_{i=1)^n({t)_(i)- bar(t)) underset(i=1)(overset{n)({)^2∑}}((y)_(i)- bar(y)())^2}}= dfrac( sumnolimits_{i=1)^n(t)_(i)(y)_(i)-n bar(t bar{y)}}( sqrt( sumlimits_{i=1)^n({t)_(i)- bar(t)())^2} sqrt( sumlimits_(i=1)^n({y)_(i)- bar(y{))^2}}} 回归方程widehat(y)=widehat(a)+widehat(b),t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：hat (b)= dfrac( sumnolimits_{i=1)^n((t)_(i)- bar(t))((y)_(i)-y)}( sumnolimits_{i=1)^n((t)_(i)- bar(t)())^2},hat (a)= bar(y)-hat (b) bar(t) widehat(a)(=)bar(y)-widehat(b),bar(t).
下图是我国$2008$年至$2014$年生活垃圾无害化处理量$($单位：亿吨$)$的折线图
$($Ⅰ$)$由折线图看出，可用线性回归模型拟合$y$与$t$的关系，请用相关系数加以说明； $($Ⅱ$)$建立$y$关于$t$的回归方程$($系数精确到$0.01)$，预测$2016$年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：$\sum\limits_{i=1}^{7}{{{y}_{i}}}=9.32$，$\sum\limits_{i=1}^{7}{{{t}_{i}}{{y}_{i}}}=40.17$，$\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{7}{{{({{y}_{i}}-\bar{y})}^{2}}}}=0.55$，$\sqrt{7}≈2.646$． 参考公式：相关系数$r= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{7}({t}_{i}- \bar{t})({y}_{i}- \bar{y})}{ \sqrt{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{i}- \bar{t}) \underset{i=1}{\overset{n}{{}^{2}∑}}({y}_{i}- \bar{y}{)}^{2}}}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{t}_{i}{y}_{i}-n \bar{t \bar{y}}}{ \sqrt{ \sum\limits_{i=1}^{n}({t}_{i}- \bar{t}{)}^{2}} \sqrt{ \sum\limits_{i=1}^{n}({y}_{i}- \bar{y{)}^{2}}}}$ 回归方程$\widehat{y}=\widehat{a}+\widehat{b}\,t$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\hat {b}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{i}- \bar{t})({y}_{i}-y)}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{i}- \bar{t}{)}^{2}},\hat {a}= \bar{y}-\hat {b} \bar{t} \widehat{a}{=}\bar{y}-\widehat{b}\,\bar{t}.$
题目解答
答案
解：$($Ⅰ$)∵\overset{-}{t}=4 $，$\sum\limits_{i=1}^{7}{\left({t}_{i}- \overset{-}{t}\right)}^{2}=28 $，$\sqrt{ \sum\limits_{i=1}^{7}{\left({y}_{i}- \overset{-}{y}\right)}^{2}}=0.55 $，
$\sqrt{ \underset{7}{\overset{i=1}{∑\left({t}_{i}- \overset{¯}{t}\right)\left({y}_{i}- \overset{¯}{y}\right)}}}= \sqrt{ \underset{i=1}{ \overset{7}{∑{t}_{i}{y}_{i}- \overset{¯}{t}}} \sum\limits_{i=1}^{7}{y}_{i}}=2.89$，
$r≈ \dfrac{2.89}{0.55×2×2.646}≈0.99 $，
说明$y$与$t$的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合$y$与$t$的关系．
$($Ⅱ$)$由$\overset{-}{y}= \dfrac{9.32}{7}≈1.331 $及$(1)$得：
$\overset{\}{b}= \dfrac{ \underset{7}{\overset{i=1}{∑\left({t}_{i}- \overset{¯}{t}\right)}}\left({y}_{i}- \overset{¯}{y}\right)}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{\left({t}_{i}-t\right)}^{2}}= \dfrac{2.89}{28}≈0.103$，
$\overset{∧}{a}= \overset{-}{y}- \overset{∧}{b} \overset{-}{t}≈1.331-0.103×4≈0.92 $，
$∴y$关于$t$的回归方程为：$\overset{∧}{y}=0.92+0.10t $，
将$2016$年对应的$t=9 $代入回归方程得：$\overset{∧}{y}=0.92+0.10×9=1.82 $，
$∴$预测$2016$年我国生活垃圾无害化处理量将约$1.82$亿吨．
解析
根据题目给出的参考数据，我们首先计算相关系数$r$。相关系数$r$的计算公式为：
$$
r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(t_i - \bar{t})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(t_i - \bar{t})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}
$$
其中，$\bar{t}$和$\bar{y}$分别是$t$和$y$的平均值。根据题目给出的数据，我们有：
$$
\bar{t} = \frac{1+2+3+4+5+6+7}{7} = 4
$$
$$
\bar{y} = \frac{9.32}{7} \approx 1.331
$$
$$
\sum_{i=1}^{7}(t_i - \bar{t})^2 = 28
$$
$$
\sqrt{\sum_{i=1}^{7}(y_i - \bar{y})^2} = 0.55
$$
$$
\sum_{i=1}^{7}(t_i - \bar{t})(y_i - \bar{y}) = \sum_{i=1}^{7}t_iy_i - n\bar{t}\bar{y} = 40.17 - 7 \times 4 \times 1.331 = 2.89
$$
因此，相关系数$r$为：
$$
r = \frac{2.89}{\sqrt{28} \times 0.55} \approx 0.99
$$
步骤 2：建立$y$关于$t$的回归方程
根据题目给出的参考公式，我们计算回归方程的斜率$\hat{b}$和截距$\hat{a}$。斜率$\hat{b}$的计算公式为：
$$
\hat{b} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(t_i - \bar{t})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(t_i - \bar{t})^2} = \frac{2.89}{28} \approx 0.103
$$
截距$\hat{a}$的计算公式为：
$$
\hat{a} = \bar{y} - \hat{b}\bar{t} = 1.331 - 0.103 \times 4 \approx 0.92
$$
因此，$y$关于$t$的回归方程为：
$$
\hat{y} = 0.92 + 0.10t
$$
步骤 3：预测$2016$年我国生活垃圾无害化处理量
将$2016$年对应的$t=9$代入回归方程，得到：
$$
\hat{y} = 0.92 + 0.10 \times 9 = 1.82
$$