24.设x_(1),x_(2),...,x_(16)是来自N(8,4)的样本，试求下列概率：(1)P(x_((16))>10);(2)P(x_((1))>5).

本题主要考查正态分布以及顺序统计量的概率计算。解题的关键在于利用正态分布的性质将顺序统计量的概率转化为单个样本的概率，再通过标准正态分布表进行计算。

（1）计算 $P(x_{(16)}>10)$

• 步骤一：将 $P(x_{(16)}>10)$ 转化为 $1 - P(x_{(16)} \leq 10)$
  根据概率的基本性质，对于任意事件 $A$，有 $P(A) = 1 - P(\overline{A})$，这里 $A$ 为 $x_{(16)}>10$，$\overline{A}$ 为 $x_{(16)} \leq 10$，所以 $P(x_{(16)}>10) = 1 - P(x_{(16)} \leq 10)$。
• 步骤二：分析 $P(x_{(16)} \leq 10)$ 与 $P(x_1 \leq 10)$ 的关系
  $x_{(16)}$ 是样本 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{16}$ 中的最大值，要使最大值小于等于 $10$，则样本中的每一个值都要小于等于 $10$。因为样本中的每个 $x_i$ 相互独立且都服从 $N(8, 4)$ 分布，所以 $P(x_{(16)} \leq 10) = P(x_1 \leq 10, x_2 \leq 10, \cdots, x_{16} \leq 10) = [P(x_1 \leq 10)]^{16}$。
• 步骤三：计算 $P(x_1 \leq 10)$
  已知 $x_1 \sim N(8, 4)$，即均值 $\mu = 8$，方差 $\sigma^2 = 4$，则标准差 $\sigma = \sqrt{4} = 2$。
  将 $x_1$ 标准化，令 $Z = \frac{x_1 - \mu}{\sigma} = \frac{x_1 - 8}{2}$，则 $Z \sim N(0, 1)$。
  所以 $P(x_1 \leq 10) = P(\frac{x_1 - 8}{2} \leq \frac{10 - 8}{2}) = P(Z \leq 1)$，查标准正态分布表可得 $P(Z \leq 1) = \Phi(1) \approx 0.8413$。
• 步骤四：计算 $P(x_{(16)}>10)$
  将 $P(x_1 \leq 10) \approx 0.8413$ 代入 $P(x_{(16)}>10) = 1 - [P(x_1 \leq 10)]^{16}$，可得 $P(x_{(16)}>10) \approx 1 - 0.8413^{16} \approx 0.9370$。

（2）计算 $P(x_{(1)}>5)$

• 步骤一：分析 $P(x_{(1)}>5)$ 与 $P(x_1 > 5)$ 的关系
  $x_{(1)}$ 是样本 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{16}$ 中的最小值，要使最小值大于 $5$，则样本中的每一个值都要大于 $5$。因为样本中的每个 $x_i$ 相互独立且都服从 $N(8, 4)$ 分布，所以 $P(x_{(1)}>5) = P(x_1 > 5, x_2 > 5, \cdots, x_{16} > 5) = [P(x_1 > 5)]^{16}$。
• 步骤二：计算 $P(x_1 > 5)$
  同样将 $x_1$ 标准化，$Z = \frac{x_1 - 8}{2}$，则 $P(x_1 > 5) = P(\frac{x_1 - 8}{2} > \frac{5 - 8}{2}) = P(Z > -1.5)$。
  根据标准正态分布的性质 $P(Z > -1.5) = 1 - P(Z \leq -1.5)$，又因为标准正态分布关于 $y$ 轴对称，所以 $P(Z \leq -1.5) = \Phi(-1.5)$，则 $P(x_1 > 5) = 1 - \Phi(-1.5) = \Phi(1.5)$，查标准正态分布表可得 $\Phi(1.5) \approx 0.9332$。
• 步骤三：计算 $P(x_{(1)}>5)$
  将 $P(x_1 > 5) \approx 0.9332$ 代入 $P(x_{(1)}>5) = [P(x_1 > 5)]^{16}$，可得 $P(x_{(1)}>5) \approx 0.9332^{16} \approx 0.3308$。