题目
例7.13 设总体X服从[0,θ]上的均匀分布,X1,X2,···,Xn是来自X的样-|||-本,求θ的矩法估计量和最大似然估计量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：矩估计量
- 总体X服从[0,θ]上的均匀分布，其期望值为 $EX=\frac{\theta}{2}$。
- 令样本均值 $\overline{X}$ 等于总体期望值 $EX$，即 $\overline{X}=\frac{\theta}{2}$。
- 解得 $\theta$ 的矩估计量为 $\hat{\theta} = 2\overline{X}$。
步骤 2：最大似然估计量
- 总体X的密度函数为 $f(x)=\left \{ \begin{matrix} \frac{1}{\theta},\quad 0\leqslant x\leqslant \theta \\ 0,\quad 其他.\end{matrix} \right.$。
- 似然函数为 $L(\theta)=\left \{ \begin{matrix} \frac{1}{{\theta}^{n}},\quad 0\leqslant {x}_{(n)}\leqslant \theta \\ 0,\quad 其他.\end{matrix} \right.$，其中 ${x}_{(n)}=max\{ {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\}$。
- 由于 ${X}_{(n)}\leqslant \theta$，且L(θ)随θ减小而增大，所以当 $\hat{\theta}={X}_{(n)}$ 时L(θ)达到最大值。
- 因此，$\hat{\theta}={X}_{(n)}$ 就是未知参数θ的最大似然估计量。
- 总体X服从[0,θ]上的均匀分布，其期望值为 $EX=\frac{\theta}{2}$。
- 令样本均值 $\overline{X}$ 等于总体期望值 $EX$，即 $\overline{X}=\frac{\theta}{2}$。
- 解得 $\theta$ 的矩估计量为 $\hat{\theta} = 2\overline{X}$。
步骤 2：最大似然估计量
- 总体X的密度函数为 $f(x)=\left \{ \begin{matrix} \frac{1}{\theta},\quad 0\leqslant x\leqslant \theta \\ 0,\quad 其他.\end{matrix} \right.$。
- 似然函数为 $L(\theta)=\left \{ \begin{matrix} \frac{1}{{\theta}^{n}},\quad 0\leqslant {x}_{(n)}\leqslant \theta \\ 0,\quad 其他.\end{matrix} \right.$，其中 ${x}_{(n)}=max\{ {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}\}$。
- 由于 ${X}_{(n)}\leqslant \theta$，且L(θ)随θ减小而增大，所以当 $\hat{\theta}={X}_{(n)}$ 时L(θ)达到最大值。
- 因此，$\hat{\theta}={X}_{(n)}$ 就是未知参数θ的最大似然估计量。