题目
5.设某种电子器件的寿命(以h计)T服从双参数的指数分布,其概率密度为-|||-f(t)= {e)^-(t-0/theta ), tgeqslant c 0,-|||-(1)求c与θ的最大似然估计值.-|||-(2)求c与θ的矩估计量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：最大似然估计值
最大似然估计值是通过最大化似然函数来估计参数的值。似然函数是给定参数值时，观察到数据的概率。对于给定的样本 ${x}_{1}, {x}_{2}, \cdots, {x}_{n}$，似然函数为
$$
L(c, \theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} e^{-(x_i - c)/\theta} = \frac{1}{\theta^n} e^{-\sum_{i=1}^{n} (x_i - c)/\theta}
$$
由于 $x_i \geq c$，似然函数的值为0，除非 $c \leq x_i$ 对所有 $i$ 成立。因此，$c$ 的最大似然估计值为样本中的最小值，即 $\hat{c} = x_1$。将 $\hat{c} = x_1$ 代入似然函数，得到
$$
L(x_1, \theta) = \frac{1}{\theta^n} e^{-\sum_{i=1}^{n} (x_i - x_1)/\theta}
$$
对 $\theta$ 求导并令导数为0，得到 $\hat{\theta} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - x_1)$。
步骤 2：矩估计量
矩估计量是通过匹配样本矩和总体矩来估计参数的值。对于给定的样本 ${x}_{1}, {x}_{2}, \cdots, {x}_{n}$，总体均值和方差分别为
$$
E(T) = c + \theta, \quad Var(T) = \theta^2
$$
样本均值和方差分别为
$$
\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i, \quad s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2
$$
通过匹配总体均值和样本均值，得到 $\hat{c} = \overline{x} - \hat{\theta}$。通过匹配总体方差和样本方差，得到 $\hat{\theta} = s$。
最大似然估计值是通过最大化似然函数来估计参数的值。似然函数是给定参数值时，观察到数据的概率。对于给定的样本 ${x}_{1}, {x}_{2}, \cdots, {x}_{n}$，似然函数为
$$
L(c, \theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} e^{-(x_i - c)/\theta} = \frac{1}{\theta^n} e^{-\sum_{i=1}^{n} (x_i - c)/\theta}
$$
由于 $x_i \geq c$，似然函数的值为0，除非 $c \leq x_i$ 对所有 $i$ 成立。因此，$c$ 的最大似然估计值为样本中的最小值，即 $\hat{c} = x_1$。将 $\hat{c} = x_1$ 代入似然函数，得到
$$
L(x_1, \theta) = \frac{1}{\theta^n} e^{-\sum_{i=1}^{n} (x_i - x_1)/\theta}
$$
对 $\theta$ 求导并令导数为0，得到 $\hat{\theta} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - x_1)$。
步骤 2：矩估计量
矩估计量是通过匹配样本矩和总体矩来估计参数的值。对于给定的样本 ${x}_{1}, {x}_{2}, \cdots, {x}_{n}$，总体均值和方差分别为
$$
E(T) = c + \theta, \quad Var(T) = \theta^2
$$
样本均值和方差分别为
$$
\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i, \quad s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2
$$
通过匹配总体均值和样本均值，得到 $\hat{c} = \overline{x} - \hat{\theta}$。通过匹配总体方差和样本方差，得到 $\hat{\theta} = s$。