[例8.7]某机器制造出的肥皂厚度为5cm,今欲了解机器性能是否良好,随机抽-|||-取10块肥皂为样本,测得平均厚度为5.3cm,标准差为0.3cm,试以0.05的显著性水平-|||-检验机器性能良好的假设。

考查要点：本题主要考查假设检验的应用，特别是t检验的使用条件及计算步骤。
解题核心思路：

1. 确定检验类型：根据题意判断是双侧检验还是单侧检验。
2. 选择检验统计量：当总体方差未知且样本量较小时，采用t检验。
3. 计算检验统计量，并与临界值比较，或计算p值，作出决策。
   破题关键点：

• 双侧检验的判断（机器性能是否偏离标准）。
• t检验的适用条件（σ未知，小样本）。
• 临界值与拒绝域的确定（自由度为n-1）。

步骤1：建立假设

• 原假设：$H_0: \mu = 5$（机器性能良好，厚度符合标准）。
• 备择假设：$H_1: \mu \neq 5$（机器性能存在问题，厚度偏离标准）。

步骤2：选择检验统计量

由于总体方差$\sigma$未知，且样本量$n=10$较小，采用t检验：
$t = \frac{\overline{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$
其中，$\overline{x}=5.3$，$s=0.3$，$\mu_0=5$，$n=10$。

步骤3：计算t值

代入数据：
$t = \frac{5.3 - 5}{0.3 / \sqrt{10}} = \frac{0.3}{0.0949} \approx 3.16$

步骤4：确定临界值

显著性水平$\alpha=0.05$，自由度$n-1=9$，查t表得双侧临界值：
$t_{\alpha/2, 9} = 2.262$

步骤5：比较与决策

• 计算的t值$3.16 > 2.262$，落入拒绝域。
• 结论：拒绝$H_0$，认为机器性能不好。

步骤6：p值验证（辅助方法）

使用Excel计算p值：

1. 输入函数TDIST(3.16, 9, 2)，结果为$0.01155$。
2. $p=0.01155 < \alpha=0.05$，进一步支持拒绝$H_0$。