题目

某地年随机抽取名健康成年男性，算得其血清总红细胞含量的均数为，标准差为，则其的置信区间为

某地 $2016$ 年随机抽取 $121$ 名健康成年男性，算得其血清总红细胞含量的均数为 $5.66\times10^{12}/L$ ，标准差为 $1.42\times10^{12}/L$ ，则其 $95\%$ 的置信区间为 $(\ \ )\times10^{12}/L。$

$A\ 5.66\pm1.96\times11$

$B\ 5.66\pm2.58\times1.42\div11$

$C\ 5.66\pm2.58\times11$

$D\ 5.66\pm t_{\frac{0.05}{2120}}\times1.42\div11$

$E\ 5.66\pm1.96\times1.42\div11$

题目解答

答案

据题意，有 $X\sim N\left(\mu,\sigma^2\right)$ ，即 $Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N\left(0,1\right)$ ，

对于给定的 $\alpha=0.05$ ，我们查表可得上分位点 $z_{\frac{\alpha}{2}}=1.96$ ，使得 $P\left\{\left|\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\right|<z_{\frac{\alpha}{2}}\right\}=1-\alpha$ ，

即 $P\left\{\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu<\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right\}=0.95$

所以置信区间为 $\left(\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

代入题中数据得 $5.66\pm1.96\times1.42\div11$ ，

则 $E$ 符合题意， $A,B,C,D$ 不合题意，

故选 $E.$

解析

步骤 1：确定置信区间的计算公式
置信区间计算公式为：$\overline{X} \pm Z_{\frac{\alpha}{2}} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中$\overline{X}$是样本均值，$Z_{\frac{\alpha}{2}}$是标准正态分布的上分位点，$\sigma$是标准差，$n$是样本量。
步骤 2：确定置信水平和上分位点
题目要求95%的置信区间，因此$\alpha = 0.05$，查表可得$Z_{\frac{\alpha}{2}} = 1.96$。
步骤 3：代入数据计算置信区间
代入题目中给出的数据：$\overline{X} = 5.66\times {10}^{12}/L$，$\sigma = 1.42\times {10}^{12}/L$，$n = 11$，计算得到置信区间为$5.66\pm 1.96\times 1.42\div 11$。