(2023湖北)某市职工篮球赛甲、乙两队决赛，采取7场4胜制(先赢4场者胜，每场没有平局)。若两队水平相当，现在已经比了3场，甲赢了2场，乙赢了1场。问甲获得最后胜利的概率有多少?（）A. 2/3B. 3/4C. 5/8D. 11/16

考查要点：本题主要考查条件概率和二项分布的应用，需要结合比赛规则（7场4胜制）进行分析。

解题核心思路：

1. 明确剩余比赛需求：甲队需再赢2场，乙队需再赢3场。
2. 简化问题：将比赛视为最多剩余4场，计算甲队在这4场中至少赢2场的概率，或乙队赢3场及以上的概率，再用补集思想求解。
3. 独立事件：每场比赛结果独立，概率均为$\frac{1}{2}$。

破题关键点：

• 剩余比赛最多4场，但实际可能提前结束（如甲队先赢2场或乙队先赢3场）。
• 直接计算甲队获胜的概率，或通过乙队失败的概率间接求解更简便。

方法一：直接计算甲队获胜的概率

甲队需在剩余4场中至少赢2场，概率为：
$P(\text{甲赢至少2场}) = \sum_{k=2}^{4} C_4^k \left(\frac{1}{2}\right)^4$

• 甲赢2场：$C_4^2 \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{6}{16}$
• 甲赢3场：$C_4^3 \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{4}{16}$
• 甲赢4场：$C_4^4 \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$
  总概率：
  $\frac{6}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{11}{16}$

方法二：补集思想（计算乙队失败的概率）

乙队需赢3场及以上，概率为：
$P(\text{乙赢至少3场}) = \sum_{k=3}^{4} C_4^k \left(\frac{1}{2}\right)^4$

• 乙赢3场：$C_4^3 \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{4}{16}$
• 乙赢4场：$C_4^4 \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$
  乙队总概率：
  $\frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16}$
  甲队获胜概率：
  $1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$