计算题（共5题，100.0分）1.(20.0分)某大学有学生6000人，欲调查学生的人均月生活费情况，现抽取60名学生进行调查，得到月生活费在500元以上的有40名，以95%的概率保证程度计算全体学生中月生活费在500元以上学生比重的区间范围；如果极限误差减少为5.8%，概率保证程度仍为95%，需要抽取多少名学生？

为了计算全体学生中月生活费在500元以上学生比重的区间范围，以及确定如果极限误差减少为5.8%时需要抽取的学生数量，我们可以按照以下步骤进行： ### 步骤1：计算样本中月生活费在500元以上学生的比重 样本中月生活费在500元以上的学生有40名，样本总量为60名。因此，样本中月生活费在500元以上学生的比重 $ p $ 为： \[ p = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \approx 0.6667 \] ### 步骤2：计算抽样平均误差 抽样平均误差 $ \mu_p $ 的公式为： \[ \mu_p = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \] 其中 $ n $ 是样本量。代入数值，我们得到： \[ \mu_p = \sqrt{\frac{0.6667 \times (1-0.6667)}{60}} = \sqrt{\frac{0.6667 \times 0.3333}{60}} \approx \sqrt{0.003704} \approx 0.06086 \] ### 步骤3：计算极限误差 极限误差 $ \Delta_p $ 是抽样平均误差的 $ Z $ 倍，其中 $ Z $ 是与概率保证程度对应的正态分布临界值。对于95%的概率保证程度， $ Z \approx 1.96 $。因此，极限误差为： \[ \Delta_p = 1.96 \times 0.06086 \approx 0.1193 \] ### 步骤4：计算区间范围 区间范围为： \[ p \pm \Delta_p \] 代入数值，我们得到： \[ 0.6667 \pm 0.1193 \] 即区间范围为： \[ (0.5474, 0.7860) \] 将这个区间转换为百分比，我们得到： \[ (54.74\%, 78.60\%) \] ### 步骤5：确定如果极限误差减少为5.8%时需要抽取的学生数量 如果极限误差 $ \Delta_p $ 减少为5.8%，即 $ \Delta_p = 0.058 $，则需要抽取的学生数量 $ n $ 可以通过以下公式计算： \[ n = \left( \frac{Z \sqrt{p(1-p)}}{\Delta_p} \right)^2 \] 代入数值，我们得到： \[ n = \left( \frac{1.96 \sqrt{0.6667 \times 0.3333}}{0.058} \right)^2 \approx \left( \frac{1.96 \times 0.4714}{0.058} \right)^2 \approx \left( \frac{0.9233}{0.058} \right)^2 \approx \left( 16 \right)^2 \approx 200 \] ### 最终答案 全体学生中月生活费在500元以上学生比重的区间范围为 $\boxed{(54.74\%, 78.60\%)}$。 如果极限误差减少为5.8%，概率保证程度仍为95%，需要抽取 $\boxed{200}$ 名学生。