题目
X1,X2,X3,X4是来自总体X1,X2,X3,X4的样本，则下列正确的是（）.A.X1,X2,X3,X4B.X1,X2,X3,X4C.X1,X2,X3,X4D.X1,X2,X3,X4
是来自总体
的样本，则下列正确的是（）.
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
来自总体的样本相互独立且都服从总体的分布，则
，则
，
，则
，则选项A错误；
，则
，则，则选项B正确；
，
，则
，则选项C错误，相互独立的卡方分布具有可加性，则选项D错误，因此选择B。
解析
步骤 1：分析选项A
${X}_{1}-{X}_{2}$的期望和方差计算如下：
$E({X}_{1}-{X}_{2})=E({X}_{1})-E({X}_{2})=0-0=0$
$D({X}_{1}-{X}_{2})=D({X}_{1})+D({X}_{2})=1+1=2$
因此，${X}_{1}-{X}_{2}\sim N(0,2)$，选项A错误。
步骤 2：分析选项B
${{X}_{1}}^{2}+{{X}_{2}}^{2}+{{X}_{3}}^{2}\sim {\chi }^{2}(3)$，因为${X}_{i}\sim N(0,1)$，所以${{X}_{i}}^{2}\sim {\chi }^{2}(1)$，且相互独立。
$\dfrac {{X}_{4}}{\sqrt {{{X}_{1}}^{2}+{{X}_{2}}^{2}+{{X}_{3}}^{2}}}\sim t(3)$，因为${X}_{4}\sim N(0,1)$，且${{X}_{1}}^{2}+{{X}_{2}}^{2}+{{X}_{3}}^{2}\sim {\chi }^{2}(3)$，所以选项B正确。
步骤 3：分析选项C
${X}_{1}{X}_{2}$的期望和方差计算如下：
$E({X}_{1}{X}_{2})=E({X}_{1})E({X}_{2})=0$
$D({X}_{1}{X}_{2})=E[ {({X}_{1}{X}_{2})}^{2}] -{E}^{2}({X}_{1}{X}_{2})=E({{X}_{1}}^{2}{{X}_{2}}^{2})-{E}^{2}({X}_{1}){E}^{2}({X}_{2})=E({{X}_{1}}^{2})E({{X}_{2}}^{2})=(0+1)(0+1)=1$
因此，${X}_{1}{X}_{2}\sim N(0,1)$，选项C错误。
步骤 4：分析选项D
$2{{X}_{3}}^{2}\sim {\chi }^{2}(2)$，因为${X}_{3}\sim N(0,1)$，所以${{X}_{3}}^{2}\sim {\chi }^{2}(1)$，且$2{{X}_{3}}^{2}\sim {\chi }^{2}(2)$，所以选项D错误。
${X}_{1}-{X}_{2}$的期望和方差计算如下：
$E({X}_{1}-{X}_{2})=E({X}_{1})-E({X}_{2})=0-0=0$
$D({X}_{1}-{X}_{2})=D({X}_{1})+D({X}_{2})=1+1=2$
因此，${X}_{1}-{X}_{2}\sim N(0,2)$，选项A错误。
步骤 2：分析选项B
${{X}_{1}}^{2}+{{X}_{2}}^{2}+{{X}_{3}}^{2}\sim {\chi }^{2}(3)$，因为${X}_{i}\sim N(0,1)$，所以${{X}_{i}}^{2}\sim {\chi }^{2}(1)$，且相互独立。
$\dfrac {{X}_{4}}{\sqrt {{{X}_{1}}^{2}+{{X}_{2}}^{2}+{{X}_{3}}^{2}}}\sim t(3)$，因为${X}_{4}\sim N(0,1)$，且${{X}_{1}}^{2}+{{X}_{2}}^{2}+{{X}_{3}}^{2}\sim {\chi }^{2}(3)$，所以选项B正确。
步骤 3：分析选项C
${X}_{1}{X}_{2}$的期望和方差计算如下：
$E({X}_{1}{X}_{2})=E({X}_{1})E({X}_{2})=0$
$D({X}_{1}{X}_{2})=E[ {({X}_{1}{X}_{2})}^{2}] -{E}^{2}({X}_{1}{X}_{2})=E({{X}_{1}}^{2}{{X}_{2}}^{2})-{E}^{2}({X}_{1}){E}^{2}({X}_{2})=E({{X}_{1}}^{2})E({{X}_{2}}^{2})=(0+1)(0+1)=1$
因此，${X}_{1}{X}_{2}\sim N(0,1)$，选项C错误。
步骤 4：分析选项D
$2{{X}_{3}}^{2}\sim {\chi }^{2}(2)$，因为${X}_{3}\sim N(0,1)$，所以${{X}_{3}}^{2}\sim {\chi }^{2}(1)$，且$2{{X}_{3}}^{2}\sim {\chi }^{2}(2)$，所以选项D错误。