由抛物线x=y^2+2与点(3,1)处的法线及x轴, y轴所围成一个平面图形. (1)求此平面图形的面积。(2)求该平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积。

(1)设$$x=y^2+2$$在点$$(3,1)$$处切线方程为$$y-1=k(x-3)$$, 将抛物线方程代入得到$$y-1=k(y^2-1)$$, 

此方程有两个等根1, 故$$k=\frac{1}{2}$$; 

在该点的法线方程为$$y-1=-2(x-3)$$, 它与两坐标轴交点为$$(\frac{7}{2} ,0)$$, $$(0,7)$$

该平面图形为直角三角形，其面积为$$S=\frac{1}{2} \times \frac{7}{2} \times 7=\frac{49}{4}$$

(2)该平面图形绕x轴旋转所成旋转体是一个圆锥，其体积为$$V=\frac{1}{3} π\times 7^2\times \frac{7}{2} =\frac{329}{6} π$$