一工厂生产的电子管的寿命X(以h计)服从参数为μ=160，σ的正态分布，如果要求P(120＜X≤200)≥0.80，允许σ最大为多少?

本题考查正态分布的性质以及标准正态分布的应用。解题的关键思路是先将一般正态分布转化为标准正态分布，然后利用标准正态分布的性质和已知概率条件建立不等式，最后通过查标准正态分布表求解出$\sigma$的最大值。

1. 将一般正态分布转化为标准正态分布：
   已知电子管的寿命$X$服从参数为$\mu = 160$，$\sigma$的正态分布，即$X\sim N(160,\sigma^{2})$。
   根据正态分布的标准化公式$Z=\frac{X - \mu}{\sigma}$，其中$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$，则$P(120\lt X\leqslant200)$可转化为：
   $P(120\lt X\leqslant200)=P(\frac{120 - 160}{\sigma}\lt\frac{X - 160}{\sigma}\leqslant\frac{200 - 160}{\sigma})=P(-\frac{40}{\sigma}\lt Z\leqslant\frac{40}{\sigma})$
   设$\varPhi(z)$为标准正态分布$N(0,1)$的分布函数，则$P(-\frac{40}{\sigma}\lt Z\leqslant\frac{40}{\sigma})=\varPhi(\frac{40}{\sigma})-\varPhi(-\frac{40}{\sigma})$。
2. 利用标准正态分布的性质化简概率表达式：
   对于标准正态分布，有$\varPhi(-z)=1 - \varPhi(z)$，所以$\varPhi(-\frac{40}{\sigma})=1 - \varPhi(\frac{40}{\sigma})$。
   则$P(120\lt X\leqslant200)=\varPhi(\frac{40}{\sigma})-(1 - \varPhi(\frac{40}{\sigma})) = 2\varPhi(\frac{40}{\sigma}) - 1$。
3. 根据已知概率条件建立不等式并求解$\varPhi(\frac{40}{\sigma})$：
   已知$P(120\lt X\leqslant200)\geqslant0.80$，即$2\varPhi(\frac{40}{\sigma}) - 1\geqslant0.80$。
   移项可得$2\varPhi(\frac{40}{\sigma})\geqslant0.80 + 1 = 1.80$，两边同时除以$2$，解得$\varPhi(\frac{40}{\sigma})\geqslant0.9$。
4. 通过查标准正态分布表求解$\sigma$的最大值：
   查标准正态分布表可知，当$\varPhi(z)=0.9$时，$z\approx1.281$，即$\frac{40}{\sigma}\geqslant1.281$。
   两边同时乘以$\sigma$（$\sigma\gt0$），得到$40\geqslant1.281\sigma$，再两边同时除以$1.281$，解得$\sigma\leqslant\frac{40}{1.281}\approx31.25$。