题目

【例4】三元二次型f=x^TAx，其中矩阵A的主对角线元素之和为3，且满足AB+B=0，其中B=(}1&0&10&1&1-1&-1&-2).(I)用正交变换化二次型为标准形;(II)求二次型f=x^TAx;(III)r(A+E)+r(A-E);(IV)求二次型f=x^TAx在条件x^Tx=1下的最大值和最小值;(V)二次型f=x^TAx=1对应的几何图形是什么?(数学一)

【例4】三元二次型$f=x^{T}Ax$，其中矩阵A的主对角线元素之和为3，且满足$AB+B=0$，其中$B=\left(\begin{matrix}1&0&1\\0&1&1\\-1&-1&-2\end{matrix}\right)$. (I)用正交变换化二次型为标准形; (II)求二次型$f=x^{T}Ax$; (III)$r(A+E)+r(A-E)$; (IV)求二次型$f=x^{T}Ax$在条件$x^{T}x=1$下的最大值和最小值; (V)二次型$f=x^{T}Ax=1$对应的几何图形是什么?(数学一)

题目解答

答案

答案：
(I) 标准形：$ f = -y_1^2 - y_2^2 + 5y_3^2 $
(II) 二次型：$ f = 4x_1^2 + 4x_2^2 + 4x_3^2 + 10x_1x_2 + 10x_1x_3 + 10x_2x_3 $
(III) $ r(A+E) + r(A-E) = 3 $
(IV) 最大值：5，最小值：-1
(V) 几何图形：双叶双曲面

$\boxed{\begin{array}{ccccc}\text{(I)} & f = -y_1^2 - y_2^2 + 5y_3^2 \\\text{(II)} & f = 4x_1^2 + 4x_2^2 + 4x_3^2 + 10x_1x_2 + 10x_1x_3 + 10x_2x_3 \\\text{(III)} & 3 \\\text{(IV)} & \text{最大值：5，最小值：-1} \\\text{(V)} & \text{双叶双曲面} \\\end{array}}$

解析

本题主要考查二次型的相关知识，包括用正交变换化二次型为标准形、求二次型表达式、矩阵秩的计算、二次型在条件下的最值以及二次型对应的几何图形。解题的关键在于根据已知条件求出矩阵$A$的特征值和特征向量，进而完成各项要求。

(I) 用正交变换化二次型为标准形

  1. 由$AB + B = 0$可得$(A + E)B = 0$，这意味着$B$的列向量是齐次线性方程组$(A + E)X = 0$的解。
  2. 对$B$进行初等行变换：
    • $B=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\ -1&-1&-2\end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_3 + r_1}\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&-1&-1\end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_3 + r_2}\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}$
    • 由此可知$r(B)=2$，那么齐次线性方程组$(A + E)X = 0$的基础解系所含向量个数为$2$，所以$n - r(A + E)=2$（$n = 3$为矩阵$A$的阶数），则$r(A + E)=1$。
    • 因为$A$是实对称矩阵，$A + E$也是实对称矩阵，且$r(A + E)=1$，所以$A + E$的特征值为$0,0,0$，那么$A$的一个特征值$\lambda_1=\lambda_2=-1$。
  3. 已知矩阵$A$的主对角线元素之和为$3$，即$tr(A)=3$，根据特征值之和等于矩阵的主对角线元素之和，设$A$的第三个特征值为$\lambda_3$，则$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 = 3$，可得$\lambda_3 = 5$。
  4. 对于实对称矩阵$A$，不同特征值对应的特征向量相互正交。设$\xi_1,\xi_2$是$\lambda_1=\lambda_2=-1$对应的特征向量，$\xi_3$是$\lambda_3 = 5$对应的特征向量。
    • 对$\xi_1,\xi_2$进行正交化，再将$\xi_1,\xi_2,\xi_3$单位化，得到正交矩阵$Q$，令$x = Qy$，则二次型$f=x^{T}Ax$化为标准形$f = -y_1^2 - y_2^2 + 5y_3^2$。

(II) 求二次型$f=x^{T}Ax$

  1. 设$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}$，已知$tr(A)=a_{11}+a_{22}+a_{33}=3$，且$A$的特征值为$-1,-1,5$。
  2. 根据实对称矩阵可相似对角化，$A$相似于$\Lambda=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&5\end{pmatrix}$，则存在可逆矩阵$P$，使得$A = P\Lambda P^{-1}$。
  3. 不妨设$P$的列向量为$A$的特征向量，通过计算可得$A=\begin{pmatrix}4&5&5\\5&4&5\\5&5&4\end{pmatrix}$。
  4. 那么二次型$f=x^{T}Ax = 4x_1^2 + 4x_2^2 + 4x_3^2 + 10x_1x_2 + 10x_1x_3 + 10x_2x_3$。

(III) $r(A + E)+r(A - E)$

  1. 由前面计算可知$A$的特征值为$\lambda_1=\lambda_2=-1$，$\lambda_3 = 5$。
  2. 对于实对称矩阵$A$，$A + E$的特征值为$\lambda_1 + 1 = 0$，$\lambda_2 + 1 = 0$，$\lambda_3 + 1 = 6$，所以$r(A + E)=1$。
  3. $A - E$的特征值为$\lambda_1 - 1 = -2$，$\lambda_2 - 1 = -2$，$\lambda_3 - 1 = 4$，所以$r(A - E)=2$。
  4. 则$r(A + E)+r(A - E)=1 + 2 = 3$。

(IV) 求二次型$f=x^{T}Ax$在条件$x^{T}x = 1$下的最大值和最小值

  1. 因为二次型$f=x^{T}Ax$通过正交变换$x = Qy$化为标准形$f = -y_1^2 - y_2^2 + 5y_3^2$，且$x^{T}x = y^{T}y = 1$。
  2. 当$y_1 = y_2 = 0$，$y_3 = 1$时，$f$取得最大值$5$；当$y_1 = y_2 = 1$，$y_3 = 0$时，$f$取得最小值$-1$。

(V) 二次型$f=x^{T}Ax = 1$对应的几何图形是什么

  1. 二次型$f=x^{T}Ax$的标准形为$f = -y_1^2 - y_2^2 + 5y_3^2$，则$f = 1$化为$-y_1^2 - y_2^2 + 5y_3^2 = 1$，即$\frac{y_3^2}{\frac{1}{5}}-\frac{y_1^2}{1}-\frac{y_2^2}{1}=1$。
  2. 根据二次曲面的标准方程，可知其对应的几何图形是双叶双曲面。