题目
如题1图所示,某理想气体沿经过原点的 p-|||-b-|||-直线ab由初态a变到终态b。已知该气体的定-|||-体摩尔热容 _(V)m=3R ,证明:气体在ab过程-|||-中的摩尔热容 _(m)=dfrac (7)(2)R 一 a-|||-O V-|||-题1图
题目解答
答案
解析
步骤 1：理想气体状态方程
根据理想气体状态方程 $PV=nRT$，其中 $P$ 是压强，$V$ 是体积，$n$ 是摩尔数，$R$ 是理想气体常数，$T$ 是温度。对于摩尔热容 $C$，有 $dQ=nCdT$，其中 $dQ$ 是热量变化，$dT$ 是温度变化。
步骤 2：定体摩尔热容
对于定体摩尔热容 $C_{V,m}$，在定体过程中 $dV=0$。根据热力学第一定律 $dQ=dU+pdV$，当 $dV=0$ 时，$dQ=dU$。已知 $C_{V,m}=3R$，对于单原子理想气体，$U=\frac{3}{2}nRT$，$dU=\frac{3}{2}nRdT$，所以 $C_{V,m}=\frac{3}{2}R$（这里的 $n=1$ mol 为了简化计算）。
步骤 3：过程ab的摩尔热容
对于过程ab，这是一个一般的过程（既不是定体也不是定压），根据热力学第一定律 $dQ=dU+pdV$。对于理想气体 $U=C_{V,m}T$，$dU=C_{V,m}dT$。从图中可以看出 $p=kV$（因为是过原点的直线），其中 $k$ 是直线的斜率。根据理想气体状态方程 $PV=nRT$，将 $p=kV$ 代入得 $kV^2=nRT$，$V=\sqrt{\frac{nRT}{k}}$，$p=k\sqrt{\frac{nRT}{k}}$。对于过程ab，$dQ=nC_m dT$，$dU=nC_{V,m}dT$，$pdV=nRdT$（因为 $PV=nRT$）。根据 $dQ=dU+pdV$，$nC_m dT=nC_{V,m}dT+nRdT$。已知 $C_{V,m}=3R$，则 $C_m=C_{V,m}+R=3R+R=\frac{7}{2}R$。
根据理想气体状态方程 $PV=nRT$，其中 $P$ 是压强，$V$ 是体积，$n$ 是摩尔数，$R$ 是理想气体常数，$T$ 是温度。对于摩尔热容 $C$，有 $dQ=nCdT$，其中 $dQ$ 是热量变化，$dT$ 是温度变化。
步骤 2：定体摩尔热容
对于定体摩尔热容 $C_{V,m}$，在定体过程中 $dV=0$。根据热力学第一定律 $dQ=dU+pdV$，当 $dV=0$ 时，$dQ=dU$。已知 $C_{V,m}=3R$，对于单原子理想气体，$U=\frac{3}{2}nRT$，$dU=\frac{3}{2}nRdT$，所以 $C_{V,m}=\frac{3}{2}R$（这里的 $n=1$ mol 为了简化计算）。
步骤 3：过程ab的摩尔热容
对于过程ab，这是一个一般的过程（既不是定体也不是定压），根据热力学第一定律 $dQ=dU+pdV$。对于理想气体 $U=C_{V,m}T$，$dU=C_{V,m}dT$。从图中可以看出 $p=kV$（因为是过原点的直线），其中 $k$ 是直线的斜率。根据理想气体状态方程 $PV=nRT$，将 $p=kV$ 代入得 $kV^2=nRT$，$V=\sqrt{\frac{nRT}{k}}$，$p=k\sqrt{\frac{nRT}{k}}$。对于过程ab，$dQ=nC_m dT$，$dU=nC_{V,m}dT$，$pdV=nRdT$（因为 $PV=nRT$）。根据 $dQ=dU+pdV$，$nC_m dT=nC_{V,m}dT+nRdT$。已知 $C_{V,m}=3R$，则 $C_m=C_{V,m}+R=3R+R=\frac{7}{2}R$。