求下列极限(1) lim_(x to -3) (x^2 - 9)/(x^2 + 7x + 12)(2) lim_(x to 0) (ln(1 + 3x))/(2x)

本题主要考查函数极限的计算，涉及到因式分解化简、等价无穷小代换以及洛必达法则等知识点。

（1）计算 $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 9}{x^2 + 7x + 12}$

• 步骤一：对分子分母进行因式分解
  根据平方差公式 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$，可得 $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$。
  对于二次三项式 $x^2 + 7x + 12$，使用十字相乘法可得 $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$。
  所以原式可化为 $\lim_{x \to -3} \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 3)(x + 4)}$。
• 步骤二：消去共同因子
  因为 $x \to -3$ 时，$x \neq -3$，即 $x + 3 \neq 0$，所以可以消去分子分母的共同因子 $(x + 3)$，得到 $\lim_{x \to -3} \frac{x - 3}{x + 4}$。
• 步骤三：代入求值
  将 $x = -3$ 代入 $\frac{x - 3}{x + 4}$，可得 $\frac{-3 - 3}{-3 + 4} = \frac{-6}{1} = -6$。

（2）计算 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{2x}$

方法一：等价无穷小代换

• 步骤一：利用等价无穷小代换
  当 $x \to 0$ 时，$\ln(1 + x) \sim x$，那么当 $x \to 0$ 时，$\ln(1 + 3x) \sim 3x$。
  所以原式可化简为 $\lim_{x \to 0} \frac{3x}{2x}$。
• 步骤二：化简并求值
  消去分子分母的共同因子 $x$，得到 $\lim_{x \to 0} \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$。

方法二：洛必达法则

• 步骤一：判断是否满足洛必达法则的条件
  当 $x \to 0$ 时，分子 $\ln(1 + 3x) \to \ln(1 + 3\times0) = 0$，分母 $2x \to 2\times0 = 0$，即原式为 $\frac{0}{0}$ 型的极限，可以使用洛必达法则。
• 步骤二：对分子分母分别求导
  根据求导公式 $(\ln(1 + u))^\prime = \frac{u^\prime}{1 + u}$，对分子 $\ln(1 + 3x)$ 求导，令 $u = 3x$，则 $u^\prime = 3$，所以 $(\ln(1 + 3x))^\prime = \frac{3}{1 + 3x}$。
  对分母 $2x$ 求导，根据求导公式 $(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，可得 $(2x)^\prime = 2$。
• 步骤三：计算极限
  根据洛必达法则，$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 3x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{1 + 3x}}{2}$。
  将 $x = 0$ 代入 $\frac{\frac{3}{1 + 3x}}{2}$，可得 $\frac{\frac{3}{1 + 3\times0}}{2} = \frac{3}{2}$。