题目

设总体X的概率密度为f(x,theta)=}2theta x+3(1-theta)x^2&0<10&其他，theta为未知参数，X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体X的样本，已知样本均值的观测值为overline(x)=(17)/(24)，则theta的矩估计值为hat(theta)=( ).

设总体$X$的概率密度为 $f(x,\theta)=\begin{cases}2\theta x+3(1-\theta)x^{2}&0<1\\0&其他\end{cases}$ ，$\theta$为未知参数，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体$X$的样本，已知样本均值的观测值为$\overline{x}=\frac{17}{24}$，则$\theta$的矩估计值为$\hat{\theta}=( )$.

题目解答

答案

为了找到参数$\theta$的矩估计值，我们需要使用样本均值与总体均值之间的关系。总体均值$\mu$由期望值$E(X)$给出，我们可以从概率密度函数$f(x, \theta)$中计算出这个值。 概率密度函数为： \[ f(x, \theta) = \begin{cases} 2\theta x + 3(1-\theta)x^2 & \text{如果 } 0 < x < 1 \\ 0 & \text{其他情况} \end{cases} \] 总体均值$\mu$计算如下： \[ \mu = E(X) = \int_0^1 x f(x, \theta) \, dx = \int_0^1 x \left( 2\theta x + 3(1-\theta)x^2 \right) \, dx \] \[ = \int_0^1 \left( 2\theta x^2 + 3(1-\theta)x^3 \right) \, dx \] \[ = 2\theta \int_0^1 x^2 \, dx + 3(1-\theta) \int_0^1 x^3 \, dx \] \[ = 2\theta \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 + 3(1-\theta) \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 \] \[ = 2\theta \cdot \frac{1}{3} + 3(1-\theta) \cdot \frac{1}{4} \] \[ = \frac{2\theta}{3} + \frac{3(1-\theta)}{4} \] \[ = \frac{2\theta}{3} + \frac{3}{4} - \frac{3\theta}{4} \] \[ = \frac{8\theta}{12} + \frac{9}{12} - \frac{9\theta}{12} \] \[ = \frac{9 - \theta}{12} \] 矩估计法将样本均值$\overline{X}$等同于总体均值$\mu$。已知样本均值的观测值为$\overline{x} = \frac{17}{24}$，我们设置方程： \[ \frac{9 - \theta}{12} = \frac{17}{24} \] 为了解出$\theta$，我们首先通过找到公分母来消除分数。两边同时乘以24： \[ 24 \cdot \frac{9 - \theta}{12} = 24 \cdot \frac{17}{24} \] \[ 2(9 - \theta) = 17 \] \[ 18 - 2\theta = 17 \] \[ 1 = 2\theta \] \[ \theta = \frac{1}{2} \] 因此，$\theta$的矩估计值为： \[ \boxed{\frac{1}{2}} \]

解析

本题考查矩估计法的应用。解题思路是先根据总体的概率密度函数求出总体均值$E(X)$，再利用矩估计法中样本均值$\overline{X}$等于总体均值$E(X)$这一关系，结合已知的样本均值观测值$\overline{x}$，建立关于未知参数$\theta$的方程，最后求解该方程得到$\theta$的矩估计值。

步骤一：计算总体均值$E(X)$

已知总体$X$的概率密度函数为$f(x,\theta)=\begin{cases}2\theta x + 3(1 - \theta)x^2 & 0 < x < 1 \\ 0 & \text{其他}\end{cases}$，根据期望的定义，总体均值$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,\theta)dx$，由于$f(x,\theta)$在$0 < x < 1$时才有非零值，所以：
$\begin{align*}E(X)&=\int_{0}^{1}x(2\theta x + 3(1 - \theta)x^2)dx\\&=\int_{0}^{1}(2\theta x^2 + 3(1 - \theta)x^3)dx\\&=2\theta\int_{0}^{1}x^2dx + 3(1 - \theta)\int_{0}^{1}x^3dx\end{align*}$
根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C$（$n\neq -1$），可得：
$\begin{align*}2\theta\int_{0}^{1}x^2dx + 3(1 - \theta)\int_{0}^{1}x^3dx&=2\theta\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 + 3(1 - \theta)\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1\\&=2\theta\cdot\frac{1}{3} + 3(1 - \theta)\cdot\frac{1}{4}\\&=\frac{2\theta}{3} + \frac{3(1 - \theta)}{4}\\&=\frac{2\theta}{3} + \frac{3}{4} - \frac{3\theta}{4}\\&=\frac{8\theta}{12} + \frac{9}{12} - \frac{9\theta}{12}\\&=\frac{9 - \theta}{12}\end{align*}$

步骤二：建立关于$\theta$的方程

由矩估计法可知，样本均值$\overline{X}$等于总体均值$E(X)$，已知样本均值的观测值为$\overline{x}=\frac{17}{24}$，则有：
$\frac{9 - \theta}{12} = \frac{17}{24}$

步骤三：求解$\theta$

为了解出$\theta$，方程两边同时乘以$24$：
$\begin{align*}24\cdot\frac{9 - \theta}{12}&=24\cdot\frac{17}{24}\\2(9 - \theta)&=17\\18 - 2\theta&=17\\-2\theta&=17 - 18\\-2\theta&=-1\\\theta&=\frac{1}{2}\end{align*}$