计算下列各式的值。(1) int_(-infty)^infty sin(pi t) delta(t - (1)/(2)) , dt;(2) int_(-infty)^infty te^-t varepsilon(t - 5) , dt;
计算下列各式的值。 (1) $\int_{-\infty}^{\infty} \sin(\pi t) \delta\left(t - \frac{1}{2}\right) \, dt$; (2) $\int_{-\infty}^{\infty} te^{-t} \varepsilon(t - 5) \, dt$;
题目解答
答案
(1) 利用狄拉克 delta 函数的筛选性质，$\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - a) \, dt = f(a)$，其中 $f(t) = \sin(\pi t)$，$a = \frac{1}{2}$。
$\int_{-\infty}^{\infty} \sin(\pi t) \delta\left(t - \frac{1}{2}\right) \, dt = \sin\left(\pi \cdot \frac{1}{2}\right) = 1$
答案： $\boxed{1}$
(2) 利用单位阶跃函数的性质，$\varepsilon(t - 5)$ 在 $t \geq 5$ 时为1，否则为0。
$\int_{-\infty}^{\infty} t e^{-t} \varepsilon(t - 5) \, dt = \int_{5}^{\infty} t e^{-t} \, dt$
采用分部积分法，设 $u = t$，$dv = e^{-t} \, dt$，则 $du = dt$，$v = -e^{-t}$。
$\int_{5}^{\infty} t e^{-t} \, dt = \left[ -t e^{-t} \right]_{5}^{\infty} + \int_{5}^{\infty} e^{-t} \, dt = 5e^{-5} + e^{-5} = 6e^{-5}$
答案： $\boxed{6e^{-5}}$
解析
本题主要考查狄拉克 delta 函数的筛选性质以及单位阶跃函数的性质和分部积分法的应用。
（1）计算 $\int_{-\infty}^{\infty} \sin(\pi t) \delta\left(t - \frac{1}{2}\right) \, dt$
- 解题思路：根据狄拉克 delta 函数的筛选性质，对于任意函数 $f(t)$ 和常数 $a$，有 $\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - a) \, dt = f(a)$。在本题中，我们可以将 $f(t) = \sin(\pi t)$，$a = \frac{1}{2}$ 代入该性质进行计算。
- 解析：
将 $f(t) = \sin(\pi t)$，$a = \frac{1}{2}$ 代入狄拉克 delta 函数的筛选性质公式 $\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - a) \, dt = f(a)$，可得：
$\int_{-\infty}^{\infty} \sin(\pi t) \delta\left(t - \frac{1}{2}\right) \, dt = \sin\left(\pi \cdot \frac{1}{2}\right)$
因为 $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$，所以 $\int_{-\infty}^{\infty} \sin(\pi t) \delta\left(t - \frac{1}{2}\right) \, dt = 1$。
（2）计算 $\int_{-\infty}^{\infty} te^{-t} \varepsilon(t - 5) \, dt$
- 解题思路：首先，根据单位阶跃函数的性质，$\varepsilon(t - 5)$ 在 $t \geq 5$ 时为 1，在 $t < 5$ 时为 0。所以原积分可以转化为 $\int_{5}^{\infty} t e^{-t} \, dt$。然后，对于这个积分，我们采用分部积分法，设 $u = t$，$dv = e^{-t} \, dt$，根据分部积分公式 $\int_{a}^{b} u \, dv = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v \, du$ 进行计算。
- 解析：
- 确定积分区间：
因为 $\varepsilon(t - 5)$ 在 $t \geq 5$ 时为 1，在 $t < 5$ 时为 0，所以 $\int_{-\infty}^{\infty} te^{-t} \varepsilon(t - 5) \, dt = \int_{5}^{\infty} t e^{-t} \, dt$。 - 使用分部积分法：
设 $u = t$，$dv = e^{-t} \, dt$，则 $du = dt$，$v = -e^{-t}$。
根据分部积分公式 $\int_{a}^{b} u \, dv = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v \, du$，可得：
$\int_{5}^{\infty} t e^{-t} \, dt = \left[ -t e^{-t} \right]_{5}^{\infty} + \int_{5}^{\infty} e^{-t} \, dt$ - 计算 $\left[ -t e^{-t} \right]_{5}^{\infty}$：
$\lim\limits_{t \to \infty} -t e^{-t} = \lim\limits_{t \to \infty} -\frac{t}{e^{t}}$，使用洛必达法则，对分子分母分别求导，可得 $\lim\limits_{t \to \infty} -\frac{1}{e^{t}} = 0$。
$\left[ -t e^{-t} \right]_{5}^{\infty} = 0 - (-5e^{-5}) = 5e^{-5}$。 - 计算 $\int_{5}^{\infty} e^{-t} \, dt$：
$\int_{5}^{\infty} e^{-t} \, dt = \left[ -e^{-t} \right]_{5}^{\infty} = 0 - (-e^{-5}) = e^{-5}$。 - 计算最终结果：
将上述结果代入 $\int_{5}^{\infty} t e^{-t} \, dt = \left[ -t e^{-t} \right]_{5}^{\infty} + \int_{5}^{\infty} e^{-t} \, dt$，可得：
$\int_{5}^{\infty} t e^{-t} \, dt = 5e^{-5} + e^{-5} = 6e^{-5}$。
- 确定积分区间：