若有三个离散随机变量，有如下关系：X+Y=Z,其中X和Y相互统计独立，试证明：(1)H(X)≤H(Z)，当且仅当Y是常量时等式成立;(2)H(Y)≤H(Z),当且仅当X为常量时等式成立;(3)H(Z)≤H(XY)≤H(X)+H(Y),当且仅当X，Y中任意一个为常量时等式成立;(4)I(X;Z)=H(Z)-H(Y);(5)I(XY;Z)=H(Z);(6)I(X;YZ)=H(X);(7)I(Y;ZIX)=H(Y);(8)I(X;YIZ)=H(XIZ)=H(YIZ)。

步骤 1：证明 H(X)≤H(Z)
由于 X+Y=Z，且 X 和 Y 相互统计独立，因此 Z 的熵 H(Z) 可以表示为 H(Z)=H(X+Y)。根据熵的性质，H(X+Y)≥H(X)，当且仅当 Y 是常量时等式成立。
步骤 2：证明 H(Y)≤H(Z)
同理，由于 X+Y=Z，且 X 和 Y 相互统计独立，因此 Z 的熵 H(Z) 可以表示为 H(Z)=H(X+Y)。根据熵的性质，H(X+Y)≥H(Y)，当且仅当 X 是常量时等式成立。
步骤 3：证明 H(Z)≤H(XY)≤H(X)+H(Y)
由于 X 和 Y 相互统计独立，因此 H(XY)=H(X)+H(Y)。根据熵的性质，H(X+Y)≤H(XY)，当且仅当 X 或 Y 是常量时等式成立。
步骤 4：证明 I(X;Z)=H(Z)-H(Y)
根据互信息的定义，I(X;Z)=H(Z)-H(Z|X)。由于 X+Y=Z，因此 H(Z|X)=H(Y)，所以 I(X;Z)=H(Z)-H(Y)。
步骤 5：证明 I(XY;Z)=H(Z)
根据互信息的定义，I(XY;Z)=H(Z)-H(Z|XY)。由于 X+Y=Z，因此 H(Z|XY)=0，所以 I(XY;Z)=H(Z)。
步骤 6：证明 I(X;YZ)=H(X)
根据互信息的定义，I(X;YZ)=H(X)-H(X|YZ)。由于 X+Y=Z，因此 H(X|YZ)=0，所以 I(X;YZ)=H(X)。
步骤 7：证明 I(Y;Z|X)=H(Y)
根据互信息的定义，I(Y;Z|X)=H(Y|X)-H(Y|XZ)。由于 X+Y=Z，因此 H(Y|XZ)=0，所以 I(Y;Z|X)=H(Y)。
步骤 8：证明 I(X;Y|Z)=H(X|Z)=H(Y|Z)
根据互信息的定义，I(X;Y|Z)=H(X|Z)-H(X|YZ)。由于 X+Y=Z，因此 H(X|YZ)=0，所以 I(X;Y|Z)=H(X|Z)。同理，I(X;Y|Z)=H(Y|Z)。