若有三个离散随机变量，有如下关系：X+Y=Z,其中X和Y相互统计独立，试证明：(1)H(X)≤H(Z)，当且仅当Y是常量时等式成立;(2)H(Y)≤H(Z),当且仅当X为常量时等式成立;(3)H(Z)≤H(XY)≤H(X)+H(Y),当且仅当X，Y中任意一个为常量时等式成立;(4)I(X;Z)=H(Z)-H(Y);(5)I(XY;Z)=H(Z);(6)I(X;YZ)=H(X);(7)I(Y;ZIX)=H(Y);(8)I(X;YIZ)=H(XIZ)=H(YIZ)。

本题考查离散随机变量在给定关系$X+Y=Z$且$X$与$Y$独立时的熵与互信息性质。核心思路是利用熵的链式法则、条件熵的性质以及互信息的定义展开推导。关键点包括：

1. 确定性关系：$Z=X+Y$导致$Z$在已知$X,Y$时完全确定，即$H(Z|XY)=0$；
2. 独立性：$X$与$Y$独立，简化条件熵计算（如$H(Y|X)=H(Y)$）；
3. 互信息与熵的关系：通过$I(A;B)=H(A)-H(A|B)$展开推导。

第（1）题

熵的比较

由$Z=X+Y$，根据数据处理定理，$H(Z) \geq H(X)$，因为$Z$是$X$的函数（通过$Y$叠加）。当$Y$为常量时，$Z=X+\text{常量}$，此时$H(Z)=H(X)$，等号成立。

第（2）题

对称性推导

与第（1）题对称，交换$X$和$Y$的角色，同理可得$H(Z) \geq H(Y)$，当$X$为常量时等号成立。

第（3）题

联合熵与条件熵

1. 下界：$H(Z) \leq H(XY)$，因$Z$是$X,Y$的函数，不确定性不高于$XY$；
2. 上界：$H(XY) = H(X)+H(Y)$（独立性），当$X$或$Y$为常量时，$H(XY)=H(X)+H(Y)$或$H(Y)+H(X)$，等号成立。

第（4）题

互信息计算

$I(X;Z) = H(Z) - H(Z|X)$
已知$Z=X+Y$，且$X$与$Y$独立，故$H(Z|X)=H(Y|X)=H(Y)$，因此：
$I(X;Z) = H(Z) - H(Y)$

第（5）题

联合互信息

$I(XY;Z) = H(Z) - H(Z|XY)$
由于$Z=X+Y$，当已知$XY$时$Z$完全确定，故$H(Z|XY)=0$，得：
$I(XY;Z) = H(Z)$

第（6）题

条件互信息

$I(X;YZ) = H(X) - H(X|YZ)$
已知$Z=X+Y$，当已知$Y$和$Z$时，$X=Z-Y$可唯一确定，故$H(X|YZ)=0$，得：
$I(X;YZ) = H(X)$

第（7）题

条件互信息

$I(Y;Z|X) = H(Y|X) - H(Y|X,Z)$
因$X$与$Y$独立，$H(Y|X)=H(Y)$；已知$X,Z$时，$Y=Z-X$可唯一确定，故$H(Y|X,Z)=0$，得：
$I(Y;Z|X) = H(Y)$

第（8）题

对称性条件互信息

$I(X;Y|Z) = H(X|Z) - H(X|YZ)$
已知$YZ$时，$X=Z-Y$可唯一确定，故$H(X|YZ)=0$，得：
$I(X;Y|Z) = H(X|Z)$
同理，对称性可证$I(X;Y|Z)=H(Y|Z)$，故$H(X|Z)=H(Y|Z)$。