题目
X_(1), ldots, X_(n) 是来自正态总体 N(0,1) 的样本，overline(X), S^2 分别为样本均值与样本方差，则().A. overline(X) sim N(0,1);B. noverline(X) sim N(0,1);C. sum_(i=1)^n X_(i)^2 sim chi^2(n);D. (overline(X))/(S) sim t(n-1);
$X_{1}, \ldots, X_{n}$ 是来自正态总体 $N(0,1)$ 的样本，$\overline{X}, S^{2}$ 分别为样本均值与样本方差，则().
A. $\overline{X} \sim N(0,1)$;
B. $n\overline{X} \sim N(0,1)$;
C. $\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2} \sim \chi^2(n)$;
D. $\frac{\overline{X}}{S} \sim t(n-1)$;
题目解答
答案
C. $\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2} \sim \chi^2(n)$;
解析
步骤 1：分析选项A
样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(0, \frac{1}{n}\right)$，因为样本均值的期望值是总体均值（即0），样本均值的方差是 $\frac{\sigma^2}{n} = \frac{1}{n}$。因此，$\overline{X} \sim N\left(0, \frac{1}{n}\right)$，而不是 $N(0,1)$。所以，选项A是不正确的。
步骤 2：分析选项B
如果 $\overline{X} \sim N\left(0, \frac{1}{n}\right)$，那么 $n\overline{X} \sim N\left(0, n^2 \cdot \frac{1}{n}\right) = N(0, n)$。因此，$n\overline{X} \sim N(0, n)$，而不是 $N(0,1)$。所以，选项B是不正确的。
步骤 3：分析选项C
由于 $X_i \sim N(0,1)$，每个 $X_i^2$ 服从自由度为1的卡方分布。$n$ 个独立的卡方随机变量之和，每个自由度为1，服从自由度为 $n$ 的卡方分布。因此，$\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \sim \chi^2(n)$。所以，选项C是正确的。
步骤 4：分析选项D
统计量 $\frac{\overline{X}}{S/\sqrt{n}}$ 服从自由度为 $n-1$ 的t分布。然而，$\frac{\overline{X}}{S}$ 并不服从自由度为 $n-1$ 的t分布。所以，选项D是不正确的。
样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(0, \frac{1}{n}\right)$，因为样本均值的期望值是总体均值（即0），样本均值的方差是 $\frac{\sigma^2}{n} = \frac{1}{n}$。因此，$\overline{X} \sim N\left(0, \frac{1}{n}\right)$，而不是 $N(0,1)$。所以，选项A是不正确的。
步骤 2：分析选项B
如果 $\overline{X} \sim N\left(0, \frac{1}{n}\right)$，那么 $n\overline{X} \sim N\left(0, n^2 \cdot \frac{1}{n}\right) = N(0, n)$。因此，$n\overline{X} \sim N(0, n)$，而不是 $N(0,1)$。所以，选项B是不正确的。
步骤 3：分析选项C
由于 $X_i \sim N(0,1)$，每个 $X_i^2$ 服从自由度为1的卡方分布。$n$ 个独立的卡方随机变量之和，每个自由度为1，服从自由度为 $n$ 的卡方分布。因此，$\sum_{i=1}^{n} X_i^2 \sim \chi^2(n)$。所以，选项C是正确的。
步骤 4：分析选项D
统计量 $\frac{\overline{X}}{S/\sqrt{n}}$ 服从自由度为 $n-1$ 的t分布。然而，$\frac{\overline{X}}{S}$ 并不服从自由度为 $n-1$ 的t分布。所以，选项D是不正确的。