题目
阶矩阵满足 则下列矩阵可能不可逆的是( ) A B C D
阶矩阵
满足
则下列矩阵可能不可逆的是( )
A 
B 
C 
D
题目解答
答案
解：
∵
∴
∴
∴
或
∴ 可能为不可逆矩阵
故本题答案为：C.
解析
步骤 1：矩阵方程的因式分解
给定矩阵方程${A}^{2}-2A-3I=0$，可以将其因式分解为$(A+I)(A-3I)=0$。这里，$I$表示单位矩阵，$A$是给定的矩阵。
步骤 2：矩阵的可逆性
矩阵$A+I$和$A-3I$的乘积为零矩阵，意味着至少有一个矩阵是不可逆的。如果一个矩阵是不可逆的，那么它的行列式为零。
步骤 3：判断选项
A. $A-1$：这个选项没有直接与因式分解后的矩阵相关联，因此不能直接判断其可逆性。
B. 2A+3I：这个选项也没有直接与因式分解后的矩阵相关联，因此不能直接判断其可逆性。
C. $A+1$：这个选项与因式分解后的矩阵$A+I$相关联，因此有可能是不可逆的。
D. 选项D没有给出，因此无法判断其可逆性。
给定矩阵方程${A}^{2}-2A-3I=0$，可以将其因式分解为$(A+I)(A-3I)=0$。这里，$I$表示单位矩阵，$A$是给定的矩阵。
步骤 2：矩阵的可逆性
矩阵$A+I$和$A-3I$的乘积为零矩阵，意味着至少有一个矩阵是不可逆的。如果一个矩阵是不可逆的，那么它的行列式为零。
步骤 3：判断选项
A. $A-1$：这个选项没有直接与因式分解后的矩阵相关联，因此不能直接判断其可逆性。
B. 2A+3I：这个选项也没有直接与因式分解后的矩阵相关联，因此不能直接判断其可逆性。
C. $A+1$：这个选项与因式分解后的矩阵$A+I$相关联，因此有可能是不可逆的。
D. 选项D没有给出，因此无法判断其可逆性。