题目

设 v = e^p x sin y，求 p 的值使 v 为调和函数，并求出解析函数 f(z) = u + iv.

设 $v = e^p x \sin y$，求 $p$ 的值使 $v$ 为调和函数，并求出解析函数 $f(z) = u + iv$.

题目解答

答案

设 $ v = e^{px} \sin y $，求 $ p $ 使 $ v $ 为调和函数。

  1. 调和函数条件：
    $ v_{xx} + v_{yy} = 0 $，其中 $ v_{xx} = p^2 e^{px} \sin y $，$ v_{yy} = -e^{px} \sin y $。
    代入得 $ (p^2 - 1) e^{px} \sin y = 0 $，解得 $ p = \pm 1 $。

  2. 解析函数 $ f(z) = u + iv $：

    • 当 $ p = 1 $：
      $ v = e^x \sin y $，由柯西-黎曼方程 $ u_x = v_y = e^x \cos y $，$ u_y = -v_x = -e^x \sin y $。
      积分得 $ u = e^x \cos y + C $，故 $ f(z) = e^z + C $。
    • 当 $ p = -1 $：
      $ v = e^{-x} \sin y $，同理得 $ u = -e^{-x} \cos y + C $，故 $ f(z) = -e^{-z} + C $。

答案：
$\boxed{\begin{array}{cc}p = 1, & f(z) = e^z + C, \\p = -1, & f(z) = -e^{-z} + C,\end{array}}$
其中 $ C $ 为任意常数。

解析

考查要点：本题主要考查调和函数的判定条件及解析函数的构造方法。
解题思路：

  1. 调和函数条件：函数$v$需满足拉普拉斯方程$v_{xx} + v_{yy} = 0$，通过计算二阶偏导数并解方程确定$p$的值。
  2. 解析函数构造：利用柯西-黎曼方程，结合已知的$v$求出$u$，进而写出解析函数$f(z) = u + iv$。
    关键点：
  • 拉普拉斯方程的应用：正确计算二阶偏导数并联立方程。
  • 柯西-黎曼方程的积分：通过偏导数关系积分求$u$，注意常数项的处理。

步骤1：确定$p$的值

  1. 计算二阶偏导数：
    • $v = e^{px} \sin y$
    • $v_{xx} = \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} = p^2 e^{px} \sin y$
    • $v_{yy} = \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = -e^{px} \sin y$
  2. 代入拉普拉斯方程：
    $v_{xx} + v_{yy} = (p^2 - 1)e^{px} \sin y = 0$
    因$e^{px} \sin y$不恒为零，故$p^2 - 1 = 0$，解得$p = \pm 1$。

步骤2：求解析函数$f(z) = u + iv$

当$p = 1$时

  1. 柯西-黎曼方程：
    • $u_x = v_y = e^x \cos y$
    • $u_y = -v_x = -e^x \sin y$
  2. 积分求$u$：
    • 积分$u_x$得$u = e^x \cos y + C$（$C$为常数）。
    • 验证$u_y = -e^x \sin y$，与柯西-黎曼方程一致。
  3. 解析函数：
    $f(z) = e^x \cos y + i e^x \sin y + C = e^z + C$

当$p = -1$时

  1. 柯西-黎曼方程：
    • $u_x = v_y = e^{-x} \cos y$
    • $u_y = -v_x = e^{-x} \sin y$
  2. 积分求$u$：
    • 积分$u_x$得$u = e^{-x} \cos y + C$。
    • 验证$u_y = -e^{-x} \sin y$，与柯西-黎曼方程一致。
  3. 解析函数：
    $f(z) = -e^{-x} \cos y + i e^{-x} \sin y + C = -e^{-z} + C$