题目

设随机事件A与B是对立事件，则事件overline(A)与overline(B)仍为对立事件． ____ （判断对错）

设随机事件A与B是对立事件，则事件$\overline{A}$与$\overline{B}$仍为对立事件． ____ （判断对错）

题目解答

答案

解：根据对立事件的定义可知，若A与B是对立事件，则事件$\overline{A}$与$\overline{B}$仍为对立事件，
故答案为：对．

解析

对立事件的定义是：两个事件$A$和$B$满足$A \cup B = \Omega$（覆盖整个样本空间）且$A \cap B = \emptyset$（互斥）。
本题的关键在于理解补集运算对对立关系的影响。通过德摩根定律和对立事件的定义，可以推导出$\overline{A}$与$\overline{B}$的关系。

  1. 对立事件的性质
    若$A$与$B$是对立事件，则：

    • $A \cup B = \Omega$（必然发生其中一个事件）
    • $A \cap B = \emptyset$（不可能同时发生）

  2. 补集的运算
    根据补集的定义：

    • $\overline{A} = B$（因为$A$的补集即为$B$）
    • $\overline{B} = A$（同理，$B$的补集即为$A$）

  3. 验证对立关系

    • 并集是否为$\Omega$：
      $\overline{A} \cup \overline{B} = B \cup A = \Omega$（满足覆盖样本空间）
    • 交集是否为空集：
      $\overline{A} \cap \overline{B} = B \cap A = \emptyset$（满足互斥）

    因此，$\overline{A}$与$\overline{B}$仍满足对立事件的定义。