设总体X的概率密度为f(x，θ)=θ， 0＜x＜11−θ， 1≤x＜20 ， 其他其中θ是未知参数(0＜θ＜1)，X1，X2…Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1，x2…，xn中小于1的个数．(Ⅰ)求θ的矩估计；(Ⅱ)求θ的最大似然估计．

考查要点：本题主要考查参数估计中的矩估计法和最大似然估计法的应用，涉及概率密度函数的积分计算、期望的求解以及似然函数的构造与求导。

解题核心思路：

1. 矩估计：通过计算总体期望，建立样本矩（样本均值）与总体矩（期望）的方程，解出参数θ。
2. 最大似然估计：根据样本观测值构造似然函数，通过对数转换和求导找到使似然函数最大的θ值。

破题关键点：

• 矩估计的关键是正确计算总体期望EX，并将样本均值代入方程求解θ。
• 最大似然估计需注意样本中两类事件（X<1和X≥1）的概率组合，正确构造似然函数后通过求导求极值。

(Ⅰ) 求θ的矩估计

计算总体期望EX

总体X的概率密度函数分两段：

• 当$0 < x < 1$时，$f(x,\theta) = \theta$；
• 当$1 \leq x < 2$时，$f(x,\theta) = 1-\theta$。

总体期望为：
$\begin{aligned}E(X) &= \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x,\theta) \, dx \\&= \int_{0}^{1} x \theta \, dx + \int_{1}^{2} x (1-\theta) \, dx \\&= \theta \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 + (1-\theta) \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^2 \\&= \theta \cdot \frac{1}{2} + (1-\theta) \cdot \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) \\&= \frac{\theta}{2} + \frac{3}{2}(1-\theta) \\&= \frac{3}{2} - \theta.\end{aligned}$

建立矩估计方程

令样本均值$\overline{X}$估计总体期望$E(X)$，即：
$\overline{X} = \frac{3}{2} - \theta.$
解得θ的矩估计：
$\hat{\theta}_{\text{矩}} = \frac{3}{2} - \overline{X}.$

(Ⅱ) 求θ的最大似然估计

构造似然函数

样本中：

• 有$N$个样本值小于1，对应概率为$\theta$；
• 有$n-N$个样本值不小于1，对应概率为$1-\theta$。

似然函数为：
$L(\theta) = \theta^{N} (1-\theta)^{n-N}.$

对数似然函数

取对数得：
$\ln L(\theta) = N \ln \theta + (n-N) \ln (1-\theta).$

求导并解方程

对θ求导并令导数为0：
$\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{N}{\theta} - \frac{n-N}{1-\theta} = 0.$
解得：
$\frac{N}{\theta} = \frac{n-N}{1-\theta} \implies N(1-\theta) = \theta(n-N) \implies \hat{\theta}_{\text{MLE}} = \frac{N}{n}.$