题目
随机地选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的pH，各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，服从同一分布，数学期望为5，方差为0.3，以pH分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均 （1）求pH （2）求pH
随机地选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的
，各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，服从同一分布，数学期望为5，方差为0.3，以
分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均
（1）求
（2）求
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算$\overline{X}$的期望和方差
由于每组80人，各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，服从同一分布，数学期望为5，方差为0.3，因此$\overline{X}$的期望$E(\overline{X})=5$，方差$D(\overline{X})=0.3/80$。
步骤 2：计算$P\{ 4.9\lt \overline {X}\lt 5.1\} $
由中心极限定理知$\overline{X}$近似服从$N(5,0.3/80)$，因此$P\{ 4.9\lt \overline {X}\lt 5.1\} =P\{ \dfrac {4.9-5}{\sqrt {0.3/80}}\lt \dfrac {\overline {X}-5}{\sqrt {0.3/80}}\lt \dfrac {5.1-5}{\sqrt {0.3/80}}\} $。
步骤 3：计算$P\{ -0.1\lt \overline {X}-\overline {Y}\lt 0.1\} $
由于$E(\overline{X}-\overline{Y})=E(\overline{X})-E(\overline{Y})=0$，$D(\overline{X}-\overline{Y})=D(\overline{X})+D(\overline{Y})=0.3/40$，因此$P\{ -0.1\lt \overline {X}-\overline {Y}\lt 0.1\} =P\{ \dfrac {-0.1-0}{\sqrt {0.3/40}}\lt \dfrac {(\overline {X}-\overline {Y})-0}{\sqrt {0.3/40}}\lt \dfrac {0.1-0}{\sqrt {0.3/40}}\} $。
由于每组80人，各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，服从同一分布，数学期望为5，方差为0.3，因此$\overline{X}$的期望$E(\overline{X})=5$，方差$D(\overline{X})=0.3/80$。
步骤 2：计算$P\{ 4.9\lt \overline {X}\lt 5.1\} $
由中心极限定理知$\overline{X}$近似服从$N(5,0.3/80)$，因此$P\{ 4.9\lt \overline {X}\lt 5.1\} =P\{ \dfrac {4.9-5}{\sqrt {0.3/80}}\lt \dfrac {\overline {X}-5}{\sqrt {0.3/80}}\lt \dfrac {5.1-5}{\sqrt {0.3/80}}\} $。
步骤 3：计算$P\{ -0.1\lt \overline {X}-\overline {Y}\lt 0.1\} $
由于$E(\overline{X}-\overline{Y})=E(\overline{X})-E(\overline{Y})=0$，$D(\overline{X}-\overline{Y})=D(\overline{X})+D(\overline{Y})=0.3/40$，因此$P\{ -0.1\lt \overline {X}-\overline {Y}\lt 0.1\} =P\{ \dfrac {-0.1-0}{\sqrt {0.3/40}}\lt \dfrac {(\overline {X}-\overline {Y})-0}{\sqrt {0.3/40}}\lt \dfrac {0.1-0}{\sqrt {0.3/40}}\} $。