题目
若 X sim N(1, sigma^2),且 P(0 A. 0.0222B. 0.0228C. 0.0226D. 0.0224
若 $X \sim N(1, \sigma^2)$,且 $P(0 < X < 2) = 0.9544$,则 $P(X < 0) = \_\_\_$。
A. 0.0222
B. 0.0228
C. 0.0226
D. 0.0224
题目解答
答案
B. 0.0228
解析
本题考查正态分布的性质及概率计算,关键利用正态分布的对称性和标准正态分布表。
步骤1:明确正态分布参数
已知$X \sim N(1, \sigma^2)$,即均值$\mu = 1$,方差$\sigma^2$,对称轴为$x = \mu = 1$。
步骤2:分析$P(0 < X < 2)$的含义
区间$(0, 2)$关于对称轴$x=1$对称,区间长度为$2$(从$\mu - 1$到$\mu + 1$),即$P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) = 0.9544$。
根据标准正态分布性质:$P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) \approx 0.9544$,这是$\sigma = 1$的典型概率值(经验法则:$\mu\pm\sigma$概率约95.44%),故$\sigma = 1$。
步骤3:计算$P(X < 0)$
由正态分布对称性:
$P(X < \mu - \sigma) + P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) + P(X > \mu + \sigma) = 1$
因对称性$P(X < \mu - \sigma) = P(X > \mu + \sigma)$,设$P(X < 0) = P(X < \mu - \sigma) = p$,则:
$2p + 0.9544 = 1$
解得$p = (1 - 0.9544)/2 = 0.0456/2 = 0.0228$。