题目
3.设某种元件使用寿命X的概率密度为f(x;theta)=}2e^-2(x-theta),xgeqslanttheta,theta, x<theta(theta>0),x_(1),x_(2),...,x_(n)是来自总体X的一个样本值，求未知参数theta的最大似然估计值.
3.设某种元件使用寿命X的概率密度为
$f(x;\theta)=\begin{cases}2e^{-2(x-\theta)},x\geqslant\theta,\\\theta, x<\theta\end{cases}(\theta>0),$
$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$是来自总体X的一个样本值，求未知参数$\theta$的最大似然估计值.
题目解答
答案
似然函数为：
\[ L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = \begin{cases}
2^n e^{-2 \sum_{i=1}^n (x_i - \theta)} & \text{若 } \theta \leq \min\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}, \\
0 & \text{否则}.
\end{cases} \]
取对数得：
\[ \ln L(\theta) = n \ln 2 - 2 \sum_{i=1}^n (x_i - \theta). \]
求导得：
\[ \frac{d \ln L(\theta)}{d \theta} = 2n > 0, \]
说明 $\ln L(\theta)$ 随 $\theta$ 增加而增加。在满足 $\theta \leq \min\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ 的条件下，$\theta$ 取最大值时似然函数最大。
因此，参数 $\theta$ 的最大似然估计值为：
\[ \boxed{\min\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}}. \]
解析
步骤 1：构造似然函数
给定样本 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，似然函数 $L(\theta)$ 是概率密度函数 $f(x;\theta)$ 在样本点上的乘积，即
\[ L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta). \]
步骤 2：根据概率密度函数构造似然函数
根据题目中给出的概率密度函数 $f(x;\theta)$，似然函数可以写为
\[ L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = \begin{cases} 2^n e^{-2 \sum_{i=1}^n (x_i - \theta)} & \text{若 } \theta \leq \min\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}, \\ 0 & \text{否则}. \end{cases} \]
步骤 3：对似然函数取对数
取对数似然函数 $\ln L(\theta)$，得到
\[ \ln L(\theta) = n \ln 2 - 2 \sum_{i=1}^n (x_i - \theta). \]
步骤 4：求导数
对 $\ln L(\theta)$ 关于 $\theta$ 求导，得到
\[ \frac{d \ln L(\theta)}{d \theta} = 2n > 0. \]
步骤 5：确定最大似然估计值
由于 $\ln L(\theta)$ 随 $\theta$ 增加而增加，且 $\theta$ 必须满足 $\theta \leq \min\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$，因此 $\theta$ 的最大似然估计值为 $\min\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$。
给定样本 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，似然函数 $L(\theta)$ 是概率密度函数 $f(x;\theta)$ 在样本点上的乘积，即
\[ L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta). \]
步骤 2：根据概率密度函数构造似然函数
根据题目中给出的概率密度函数 $f(x;\theta)$，似然函数可以写为
\[ L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = \begin{cases} 2^n e^{-2 \sum_{i=1}^n (x_i - \theta)} & \text{若 } \theta \leq \min\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}, \\ 0 & \text{否则}. \end{cases} \]
步骤 3：对似然函数取对数
取对数似然函数 $\ln L(\theta)$，得到
\[ \ln L(\theta) = n \ln 2 - 2 \sum_{i=1}^n (x_i - \theta). \]
步骤 4：求导数
对 $\ln L(\theta)$ 关于 $\theta$ 求导，得到
\[ \frac{d \ln L(\theta)}{d \theta} = 2n > 0. \]
步骤 5：确定最大似然估计值
由于 $\ln L(\theta)$ 随 $\theta$ 增加而增加，且 $\theta$ 必须满足 $\theta \leq \min\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$，因此 $\theta$ 的最大似然估计值为 $\min\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$。